Límite matemático.

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valor natural {\displaystyle n} n mayor que {\displaystyle N} N, se acerquen a {\displaystyle L} L cuando {\displaystyle n} n crezca ilimitadamente. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:

{\displaystyle a_{n}\to L\Leftrightarrow } a_{n}\to L\Leftrightarrow {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists N>0:\forall n>N,|a_{n}-L|<\varepsilon } \forall \varepsilon >0,\exists N>0:\forall n>N,|a_{n}-L|<\varepsilon

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

Límite de una función[editar]

Visualización en un sistema de coordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Artículo principal: Límite de una función

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c — punto de acumulación —, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función1 . Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

{\displaystyle \lim _{x\to c}\,\,f(x)=L} \lim _{{x\to c}}\,\,f(x)=L

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

{\displaystyle {\begin{array}{l}{\underset {x\to c}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0/0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}}} {\begin{array}{l}{\underset {x\to c}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0/0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}}

Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)} \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=c\Rightarrow \lim _{{n\to \infty