APLICACIONES DE LA INTEGRACION MATEMATICA

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Esta formula se deduce aproximando el area mediante sectores circulares, como se ve en la siguiente figura, lo que resulta ser una suma de Riemann de la función /2 en [a; b].[pic 21]

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Area encerrada por una curva plana dada en coordenadas parametricas. En ocasiones no tenemos la curva dada en la forma y = f(x), sino que la tenemos dada en coordenadas paramétricas (x(t); y(t)) para t ∈ [α; β]. Si la curva esta por encima del eje OX, es decir y(t) ≥ 0, entonces

podemos hallar el area de la region A comprendida entre la curva y el intervalo [a; b] del eje OX en el que se proyecta la curva haciendo el cambio de variables dado por la parametrización y = f(x(t)) = y(t), con lo que dx = x′(t) dt y nos queda

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Es importante hacer notar que esta formula no es valida para curvas parametrizadas cualesquiera; puede usarse solo cuando a cada valor de x le corresponde un unico punto (x; y) en la curva; esto ocurre, por ejemplo, cuando x(t) es estrictamente creciente, es decir, x′(t) > 0 en (α; β); y tambien

cuando es estrictamente decreciente, es decir, x′(t) 0 en (α; β ) (precisamente, el valor absoluto de x′ aparece en la formula para agrupar ambos casos).

2. VOLUMENES DE SOLIDOS

Volumen de un cuerpo de revolucion alrededor del eje OX. Sea f: [a; b] → R una función continua. Al hacer girar la curva de ecuacion y = f(x) alrededor del eje OX, se engendra un cuerpo U cuyo volumen podemos expresar mediante una integral:

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Esta igualdad se llama formula de los discos pues se obtiene como el limite de las sumas de Riemann que representan la suma de los volumenes de una coleccion de discos cilindricos adyacentes que se van aproximando a U.

Volumen de un cuerpo de revolucion alrededor del eje OY. Si suponemos que a ≥ 0 entonces podemos considerar el cuerpo de revolucion U que se engendra al hacer girar la curva de ecuacion y = f(x) alrededor del eje OY .

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El volumen de este cuerpo viene expresado por la formula

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Esta igualdad se conoce como formula de los tubos ya que se obtiene como el limite de las sumas de Riemann que representan la suma de los volumenes de una coleccion de tubos cilíndricos concentricos e incluidos unos dentro de otros que se aproximan a U.

Volumenes por secciones paralelas. Sea U un cuerpo que esta situado en el espacio entre dos planos paralelos de ecuaciones x = a y x = b. Supongamos que para cada x ∈ [a; b] conocemos el area A(x) de la seccion plana que se produce al cortar U con el plano paralelo a los anteriores que pasa por x. Si A(x) es una funcion continua entonces el volumen de U viene dado por.

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Esta relacion se conoce como formula de las secciones paralelas o transversales, o formula de las laminas, ya que lo que se hace es construir sumas de Riemann que representan la suma de los volumenes de una coleccion de laminas que se aproximan a V .

3. INTEGRACION NUMERICA

A veces es imposible calcular el valor de una integral f(x) dx[pic 34]

porque f no admite una primitiva manejable; por ejemplo f(x) = . Por eso es necesario buscar metodos que permitan calcular de manera aproximada el valor de una integral.[pic 35]

Aproximacion mediante polinomios de Taylor. Una forma de aproximar

f(x) dx es calcular un polinomio de Taylor p(x) de la funcion f(x) centrado, por ejemplo, en alguno de los extremos o en el punto medio del intervalo de integracion [a; b] y aproximar el valor de la integral mediante[pic 36]

la integral del polinomio.

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Si, ademas, la expresion del resto de Taylor no es muy complicada, entonces podemos determinar una cota del error que se comete.

Otra idea es construir la suma de Riemann de una particion en subintervalos suficientemente pequeños. En general, sin embargo, para obtener una buena aproximacion hace falta tomar muchos subintervalos y hacer muchas operaciones. Si pensamos en terminos de areas, una estrategia mas eficaz es tomar areas de figuras que se aproximen mejor que los rectangulos a la region cuya área queremos calcular. La regla del trapecio se obtiene cuando elegimos trapecios en vez de rectangulos.

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Regla del trapecio. Sea f: [a; b] → R una funcion continua. Dividimos el intervalo [a; b] en n subintervalos de la misma anchura h = (b−a)=n, cuyos extremos podemos expresar entonces como xi = a + ih para i = 0; 1,…, n. Sobre cada uno de estos subintervalos [xi; xi+1] construimos un trapecio cuyo lado superior es la linea recta que pasa por los puntos (xi; f(xi)) y (xi+1; f(xi+1)).

Entonces la suma de las areas de estos trapecios produce una aproximacion Th(f) a la integral de f en [a; b] que viene dada por.

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y se llama regla del trapecio o, en muchos textos, regla compuesta del trapecio (para indicar que se usa mas de uno). Si, ademas, f ” existe y es continua, entonces existe un punto c ∈ [a; b] tal que el error de la regla del trapecio viene dado por.

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La regla del trapecio es el metodo de integracion numerica mas simple. En la asignatura Metodos Matematicos de segundo curso estudiaras metodos mas avanzados, como el de Simpson, que usa parabolas en vez de trapecios, y el de Gauss-Kronrod, que utilizan algunas calculadoras.

4. INTEGRALES IMPROPIAS

El concepto de integral surge de la necesidad de calcular el area de la region limitada por una curva continua sobre un intervalo finito del eje de abscisas. Las integrales impropias surgen de la necesidad de saber si es finita y, en ese caso, calcular, el area encerrada entre una curva y su asintota. Segun que la asintota sea horizontal o vertical, la generalizacion del concepto de integral