ARMANDO BENITEZ CARDENAS..

...

Primer término [pic 16]

Último término [pic 17]

Número de términos [pic 18]

, siendo la diferencia constante, despejando [pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

Ejemplo 14 interpolar entre 3 y 5, 4 términos, de modo que formen una progresión aritmética.

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[3]La progresión es:[pic 26]

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1.2 Geométricas[4].

La progresión geométrica es una sucesión de números llamados términos, tales que dos números consecutivos cualesquiera, de la misma, guardan un cociente o una razón común. En otras palabras, esto quiere decir que cualquier término posterior puede ser obtenido del anterior multiplicándolo por un número constante llamado cociente o razón común.

Por ejemplo:

3, 6, 12, 24, 48… es una progresión geométrica cuya razón común es 2.

-2, 8, -32, 128… es una progresión geométrica cuya razón común es -4.

t, tr, tr2, tr3, tr4… es una progresión geométrica cuya razón común es r.

Obtención de Formulas:

Nomenclatura:

a = Primero termino

r = La razón

n = Número de términos

L = Ultimo termino

S = La suma de los términos

Veamos el comportamiento de una progresión de:

- Cuatro términos

a, ar, ar2, ar3

- Cinco términos[5]

a, ar, ar2, ar3, ar4,

- Seis términos

a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5,….

- Siete términos

a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5, ar6,….

- Ocho términos

a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5, ar6, ar7,….

Como se puede observar en los ejemplos anteriores el último término (u) de cualquier progresión se obtiene mediante la expresión:

u = arn– 1

En una progresión geométrica, la razón queda determinada por la relación:

[pic 27]

(k es un número natural que indica el orden de cualquier término)

Si presentamos con S la suma de los primeros términos n de la progresión geométrica:

a + ar + ar2 + ar3 + ar4+…. + arn -2 + arn-1

esto es que:

S= a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + …. + arn -2 + arn-1

Entonces:

[pic 28]

Las[6] progresiones geométricas pueden ser crecientes si r es positiva o decreciente cuando r es negativa.

Recomendaciones

- si r> 1, se recomienda emplear las formulas

S =a - arnS = a (1 - rn) o S = a - rL

1-r 1 – r 1 -r

- si r

S = arn - S = a(rn- 1) o S = rL - a

r - 1r – 11 -r

C) Si (-1

S = a

1 – r

1.3 Algunas aplicaciones.

Enseguida se mencionan diversas formas de aplicar las progresiones mencionadas anteriormente.

1.3.1 Aplicación de progresiones aritméticas.

- Determine el termino 80 y la suma de esos 80 términos de la progresión: 300, 310, 320, 330,…

Planteamiento:

(a)[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

DATOS:

a = 300

n = 80

d = 310 – 300 = 10

L = ?

S =?

FORMULA:

L = a + (n – 1) d Fórmula para el cálculo del término No. 80[pic 45]

L = 30 + (80 – 1) (10)

L = 300 + (79) (10)

L = 300 + 790

L = 1090

Apliquemos lo anterior a un problema:

Por la compra de una maquinaria, una empresa paga al final del primer año $50.000, al final del segundo año $ 45.000; al final del tercer año $40.000. ¿Cuánto pagara por la maquinaria si hace 10 pagos?

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

Progresiones geométricas.

Para encontrar el termino 10 y la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica