CONICAS.Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono.

...

[pic 17]

Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados queda finalmente: [pic 18]

[pic 19]

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser: [pic 20]

Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 + p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0

Si hacemos: A = b2

B = a2

C = – 2pb2

D = – 2qa2

E = p2b2 + q2a2 – a2b2 tendremos la ecuación: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0.

HipérbolaEs el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola.

[pic 21]

Ecuación analítica de la hipérbola: nuevamente ubiquemos los focos sobre el eje x, F = (c,0) y F' = (– c,0), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la hipérbola. En este caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas y la intersección de la hipérbola con el eje x. Entonces tendremos que: PF – PF' = 2a[pic 22]

[pic 23]

Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos llegar a esta expresión: (c2 – a2). x2 – a2y2 – (c2 – a2) a2 = 0. Nuevamente a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuación nos queda: b2x2 – a2y2 = a2b2. Dividiendo cada término por a2b2 obtenemos:

[pic 24]

Si la hipérbola estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:[pic 25]

Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 – a2y2 – 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 – q2a2 – a2b2 = 0

Si hacemos: A = b2

B = – a2

C = – 2pb2

D = 2qa2

E = p2b2 – q2a2 – a2b2 tendremos la ecuación: Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0.

Asíntotas: son rectas que jamás cortan a la hipérbola, aunque se acercan lo más posible a ella. Ambas deben pasar por el "centro" (p, q)

Las ecuaciones de las asíntotas son: [pic 26]

ParábolaEs el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

[pic 27]

Ecuación analítica de la parábola: Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = – c, por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x , y) de la parábola y un punto Q = (x, – c) de la recta debe de cumplirse que: PF = PQ[pic 28]

[pic 29]

Elevando al cuadrado ambos miembros: x2 = 4cy

Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación sería: (x– p)2 = 4c(y – q)

Desarrollando la ecuación tendremos: x2 + p2 – 2xp – 4cy + 4cq = 0

Si hacemos D = – 2p

E = – 4c

F = p2 + 4cq

Obtendremos que es: x2 + Dx + Ey + F = 0

BIBLIOGRAFIA:

http://www.math.com/tables/algebra/es-conics.htm

http://kambry.es/Apuntes%20Web/Paginas%20web%20de%20Matematicas/Analisis_Algebra/matem/matematica/Conicas.htm