CONICAS.Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono.
Enviado por klimbo3445 • 30 de Mayo de 2018 • 1.103 Palabras (5 Páginas) • 363 Visitas
...
[pic 17]
Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados queda finalmente: [pic 18]
[pic 19]
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser: [pic 20]
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 + p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0
Si hacemos: A = b2
B = a2
C = – 2pb2
D = – 2qa2
E = p2b2 + q2a2 – a2b2 tendremos la ecuación: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0.
HipérbolaEs el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola.
[pic 21]
Ecuación analítica de la hipérbola: nuevamente ubiquemos los focos sobre el eje x, F = (c,0) y F' = (– c,0), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la hipérbola. En este caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas y la intersección de la hipérbola con el eje x. Entonces tendremos que: PF – PF' = 2a[pic 22]
[pic 23]
Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos llegar a esta expresión: (c2 – a2). x2 – a2y2 – (c2 – a2) a2 = 0. Nuevamente a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuación nos queda: b2x2 – a2y2 = a2b2. Dividiendo cada término por a2b2 obtenemos:
[pic 24]
Si la hipérbola estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:[pic 25]
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 – a2y2 – 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 – q2a2 – a2b2 = 0
Si hacemos: A = b2
B = – a2
C = – 2pb2
D = 2qa2
E = p2b2 – q2a2 – a2b2 tendremos la ecuación: Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0.
Asíntotas: son rectas que jamás cortan a la hipérbola, aunque se acercan lo más posible a ella. Ambas deben pasar por el "centro" (p, q)
Las ecuaciones de las asíntotas son: [pic 26]
ParábolaEs el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
[pic 27]
Ecuación analítica de la parábola: Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = – c, por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x , y) de la parábola y un punto Q = (x, – c) de la recta debe de cumplirse que: PF = PQ[pic 28]
[pic 29]
Elevando al cuadrado ambos miembros: x2 = 4cy
Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación sería: (x– p)2 = 4c(y – q)
Desarrollando la ecuación tendremos: x2 + p2 – 2xp – 4cy + 4cq = 0
Si hacemos D = – 2p
E = – 4c
F = p2 + 4cq
Obtendremos que es: x2 + Dx + Ey + F = 0
BIBLIOGRAFIA:
http://www.math.com/tables/algebra/es-conics.htm
http://kambry.es/Apuntes%20Web/Paginas%20web%20de%20Matematicas/Analisis_Algebra/matem/matematica/Conicas.htm
...