Campos Vectoriales son uno de los conceptos fundamentales de la física

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Supongamos que el objeto de masa m1 esta ubicado en el origen de R3 (por ejemplo podría ser la masa de la tierra y el origen de coordenadas su centro). Para encontrar la fuerza de atracción debemos determinar la dirección y sentido del vector F.

Sabemos que r es el vector posición, como la fuerza gravitacional ejercida sobre el objeto de masa m2 actúa hacia el origen, el vector unitario en esta dirección es: [pic 12] si tenemos en cuenta que el módulo de r es la distancia del objeto al origen, y (x,y,z) son las coordenadas de dicho objeto tenemos: [pic 13]

El vector u es : [pic 14]

Por lo tanto la fuerza que actúa sobre el objeto de masa m2 es: F(x,y,z) =[pic 15]

En término de sus componentes:

F(x,y,z) = [pic 16]

[pic 17]

[pic 18][pic 19]

- Derivadas de un campo vectorial

Asociados a las derivadas de un campo vectorial, hay dos campos; uno escalar y otro vectorial:

- Divergencia de un campo vectorial:

Sea F(x,y,z) un campo vectorial definido en R3 para el que existen [pic 20], [pic 21], y [pic 22]

Entonces Div.F = [pic 23]+ [pic 24]+ [pic 25]

Si el campo vectorial esta definido en R2: Div.F = [pic 26]+ [pic 27] campo escalar

Una forma sencilla para obtener la divergencia, es expresarla como un producto escalar de vectores, para ello tenemos en cuenta el operador nabla [pic 28]

Div.F = ∇.F

Donde: ∇.F = [pic 29]( Mi + Nj +Pk)

Más adelante veremos una interpretación física de la divergencia.

- Rotor de un campo vectorial:

Se define en R3 como:

rot. F= [pic 30]

Podemos escribir el rotor como un producto vectorial:

rot. F = ∇ x F

Donde ∇ x F = [pic 31]

- Condición de campo conservativo

Sea F = Mi + Nj + Pk un campo vectorial con : M, N, P y sus derivadas primeras continuas en una región abierta y simplemente conexa R. Decimos que F es conservativo si y solo si se cumple:

[pic 32] = [pic 33] [pic 34]= [pic 35] y [pic 36]=[pic 37]

Si el campo vectorial, está definido en R2, las condiciones son:

F es conservativo ⇔ [pic 38]=[pic 39]

Demostración de la condición necesaria:

Para R2:

Vamos a demostrar que F es conservativo ⇒ [pic 40]=[pic 41] la igualdad de las derivadas es una condición necesaria.

Partimos de : F = Mi + Nj es conservativo, esto quiere decir que F = [pic 42]

Por lo tanto M = [pic 43] y N = [pic 44]

Si derivamos M respecto de y: [pic 45]

Derivamos N respecto de x: [pic 46]

Como la condición establece la continuidad de las derivadas, tenemos en cuenta el teorema de las derivadas cruzadas, por lo tanto si los segundos miembros son iguales nos queda: [pic 47]=[pic 48]

La condición suficiente [pic 49]=[pic 50]⇒ F es conservativo, la demostraremos con el teorema de Green en el plano.

Para R3:

Si tenemos en cuenta la condición de campo conservativo, la igualdad de las derivads equivales a decir que el rotor de F es el vector nulo.

Si F es conservativo ⇒ rot F = [pic 51]

Partimos de ∇ x F = [pic 52]

Si F es conservativo: Mi + Nj +P k = [pic 53] si reemplazamos M, N y P en la expresión del rotor nos queda:

∇ x F = [pic 54]

Nuevamente por la igualdad de las derivadas cruzadas tenemos [pic 55] decimos entonces que los campos conservativos son irrotacionales.

La condición suficiente la demostraremos con el teorema de Stokes.

- Obtención de la función potencial:

Ejemplo 1:

Dado un campo F(x,y), queremos determinar si es conservativo, si se cumple la condición vamos a calcular la función potencial.

F(x,y) = (4x3+9x2y2)i + (6x3y+6y5)j

Para esta función M(x,y) = 4x3+9x2y2 y N(x,y) = 6x3y+6y5

Vemos si cumple la condición necesaria: [pic 56]= 18 x2 y [pic 57]= 18 x2 y

Si el campo es conservativo, M(x,y) = [pic 58] N(x,y) = [pic 59]

[pic 60] = 4x3+9x2y2 para despejar f(x,y), integramos respecto de x:

1 f(x,y) = [pic 61] donde H(y) es una función arbitraria de integración

Se debe cumplir también:

[pic 62]= 6x3y+6y5 para despejar f(x,y), integramos respecto de y:

2 f(x,y) = [pic 63] donde H(y) es una función arbitraria de integración

Si comparamos 1 con 2 tenemos: 3x3y2 + y6 + G(x) = 3x3y2 + x4 + H(y)

Para que se cumpla la igualdad deberá ser G(x) = x4 y H(y) = y6

La función potencial es: f(x,y) = 3x3y2 + y6 + x4 +C C es la constante arbitraria de integración.

Ejemplo 2:

F(x,y,z) = [pic 64]

Ahora: M(x,y,z) = [pic 65] N(x,y,z) = [pic 66] y P(x,y,z) = [pic 67]

Verificamos

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