Cual es el Movimiento Armonico Simple

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Que son dos ecuaciones de donde se pueden calcular los valores de la constante de fase δ y la amplitud A. Dividiéndolas, se obtiene:

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Si se elevan al cuadrado y se suman las ecuaciones de posición y velocidad inicial, se obtiene:

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Entonces se observa que δ y A se pueden conocer si se especifican las condiciones iniciales , ω y .[pic 27][pic 28]

ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

De la ecuación de rapidez de una partícula con movimiento armónico simple y reemplazando con la definición de energía cinética, se obtiene:

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De la deformación x en un resorte su energía potencial elástica almacenada es:

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La energía mecánica total en el movimiento armónico simple, se da como:

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De donde se puede deducir que la energía mecánica total en el movimiento armónico simple es una constante del movimiento, proporcional al cuadrado de la amplitud, dicho valor es igual a la máxima energía potencial elástica almacenada en un resorte cuando , ya que en estos puntos la velocidad es igual a cero y por lo tanto no existe energía cinética.[pic 33]

Por otro lado, en la posición de equilibrio x=0 y , además en este punto la velocidad es la máxima, por lo tanto toda la energía es cinética, es decir en x=0:[pic 34]

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Como la superficie sobre la cual oscila el resorte es sin fricción, la energía se conserva, usando la ecuación de conservación de la energía:

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De donde se puede calcular la velocidad para un desplazamiento cualquiera x:

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Siendo la velocidad máxima en x=0 y cero en los puntos de regreso del oscilador .[pic 39]

PÉNDULO SIMPLE

El péndulo simple es otro sistema mecánico que tiene un movimiento periódico oscilatorio, si se mueve en un medio sin fricción. Un péndulo es un sistema formado por una masa puntual m suspendida en el aire por una cuerda de longitud L, de masa muy pequeña comparada con la masa m, por lo que se desprecia; la parte superior de la cuerda se encuentra fija. El movimiento del péndulo producido por la fuerza de gravedad se realiza en un plano vertical y es un movimiento armónico simple si el ángulo θ que forma la cuerda del péndulo con la vertical es pequeño, como se puede demostrar a continuación.

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Las fuerzas que actúan sobre la masa m son la tensión T de la cuerda y el peso mg de la masa, se muestran en la figura 11.4. La componente tangencial del peso, mg senθ, siempre apunta hacia θ = 0, en dirección opuesta al desplazamiento. Esta es la fuerza de restitución, entonces puede escribirse la ecuación de movimiento en la dirección tangencial de la forma:

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donde s es el desplazamiento medido a lo largo del arco de trayectoria y el signo menos indica que Ft actúa opuesta al movimiento. Como s = Lθ y L es constante, la ecuación se transforma en:

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Como el lado derecho es proporcional a senθ, y no solo a θ, se concluye que el movimiento no es armónico simple. Esa es una ecuación diferencial difícil de resolver, por lo que se supone que el péndulo se mueve en pequeños desplazamientos, tal que θ es pequeño, en este caso se puede usar la aproximación senθ≈θ y la ecuación diferencial del movimiento se reduce a:

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que tiene la misma forma que la ecuación que describe al movimiento armónico simple, por lo que solo en esas condiciones el movimiento del péndulo es un movimiento armónico simple. Su solución es entonces:

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donde es la amplitud que corresponde al máximo desplazamiento angular y ω es la frecuencia angular, de valor:[pic 45]

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y el periodo es:

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El periodo y la frecuencia de un péndulo simple dependen solo de la longitud de la cuerda y la aceleración de gravedad y son independiente de la masa m del péndulo. Esto significa que todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo lugar, oscilarán con el mismo periodo.

PÉNDULO FÍSICO

Un péndulo físico consta de cualquier cuerpo rígido suspendido de un eje fijo que no pasa por su centro de masa. El cuerpo rígido oscilará cuando se desplaza de su posición de equilibrio. Si el cuerpo rígido se sujeta en un eje que pasa por un punto O a una distancia d del centro de masa, la fuerza debido a la gravedad produce un torque respecto de O, de magnitud mgd*senθ. Como el torque se escribe , donde I es el momento de inercia respecto al eje que pasa por O y α es la segunda derivada de la rapidez angular, se obtiene:[pic 48]

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El signo menos indica que la fuerza de gravedad es una fuerza de restitución que produce un torque que hace disminuir el ángulo θ. Para resolver esta ecuación, nuevamente se supone que el péndulo físico se mueve en pequeños desplazamientos, tal que θ es pequeño, en este caso se puede usar la aproximación senθ≈θ y la ecuación diferencial del movimiento se reduce a:

[pic 51]

que tiene la misma forma que la ecuación que describe al movimiento armónico simple, por lo que en esas condiciones así es el movimiento del péndulo. Su solución es entonces:

[pic 52]

donde es la amplitud que corresponde al máximo desplazamiento angular y ω es la frecuencia angular:[pic