Cálculo - Resumen

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Solución:

El dominio de la función es . Si se sustituye en x= -4 en la función obtendríamos la forma , , esta forma indica que los límites unilaterales tienden a infinito. [pic 46][pic 47][pic 48]

Concluimos que x = -4 es una asíntota vertical de f(x).

Los límites infinitos unilaterales nos ayudan a determinar si la gráfica sigue a la asíntota vertical hacia el infinito positivo o hacia infinito negativo.

EJEMPLO:

Evalúa los siguientes límites unilaterales:

- [pic 49]

- [pic 50]

- En el primer ejemplo encontramos que x=-4 es una asíntota vertical, por lo que el límite unilateral debe tender a infinito. Se escogen valores de x que se acerquen a -4 por la izquierda, como -4.1. Si se sustituyen estos valores en la función se obtiene un numerador negativo y un denominador negativo, por lo que el signo del infinito es positivo.

= = +∞[pic 51][pic 52][pic 53]

- Para evaluar el límite unilateral se escogen valores de x que se acerquen a -4 por la derecha, como -3.9. Si se sustituye este valor en la función se obtiene un numerador negativo y un denominador positivo, por lo que el signo del infinito es negativo. [pic 54]

= = = - ∞[pic 55][pic 56][pic 57]

- Límites al infinito y asíntotas horizontales

Ahora se verá que sucede si los valores de x son los que tienden al infinito, es decir, si los valores de x crecen o decrecen sin restricción. A estos límites se le llama límites al infinito y se denotan y .[pic 58][pic 59]

EJEMPLOS:

Evalúa los siguientes límites

- b) [pic 60][pic 61]

Solución:

La x de mayor producción en el denominador de la función es , por lo que procedemos a dividir cada uno de los términos de la función en . [pic 62][pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

[pic 73]

- Continuidad

Si la gráfica de una función puede trazarse sin levantar el lápiz se dice que la función es continua.

Una función es continua en un punto x=c, si se cumplen las siguientes condiciones:

- F(c) está definida

- existe [pic 74]

- = [pic 75][pic 76]

Si alguna de las condiciones no se cumple, la función tiene una discontinuidad en x=c.

Las discontinuidades se clasifican en removibles (o eliminables) y no removibles (o esenciales). Hay tres tipos de discontinuidades.

- Puntos huecos. Los puntos abiertos o huecos son discontinuidades removibles o eliminables, porque la función se pude redefinir para cubrir el hueco, de manera que la función sea continua en ese punto. La característica que distingue a los puntos huecos son existe [pic 77]

- Asíntotas verticales. Las asíntotas verticales se clasifican como discontinuidades no removibles o esenciales, porque no es posible redefinir la función de manera que se vuelva continúa. La característica que distínguelas asíntotas verticales