Desigualdades lineales y cuadráticas

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Desigualdad

No debe confundirse con inecuación.[pic 72]

En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

- La notación a b significa a es menor que b;

- La notación a > b significa a es mayor que b;

estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

- La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;

- La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

- La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;

- La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;

esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.

- La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta () son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).

Transitividad

- Para números reales arbitrarios a,b y c:

- Si a > b y b > c entonces a > c.

- Si a y b entonces a .

- Si a > b y b = c entonces a > c.

- Si a y b = c entonces a .

Adición y sustracción

- Para números reales arbitrarios a,b y c:

- Si a entonces a + c y a − c .

- Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.

Multiplicación y división

- Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:

- Si c es positivo y a entonces ac y a/c .

- Si c es negativo y a entonces ac > bc y a/c > b/c.

Opuesto

- Para números reales arbitrarios a y b:

- Si a entonces −a > −b.

- Si a > b entonces −a −b.

Recíproco

- Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:

- Si a entonces 1/a > 1/b.

- Si a > b entonces 1/a 1/b.

- Si a y b son de distinto signo:

- Si a entonces 1/a 1/b.

- Si a > b entonces 1/a > 1/b.

SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES

En una desigualdad que envuelve una incógnita, dígase la letra x, un valor particular de x satisface la desigualdad, si al reemplazar x por su valor particular (en todas sus ocurrencias) la convierte en una proposición verdadera.

Así por ejemplo, x = 1 es un valor particular de x que satisface la desigualdad : 3x-1

Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hacen verdadera. En contraste con una ecuación, cuya solución, en general es un número o quizá un conjunto finito de números, el conjunto solución, de una desigualdad consta por lo común de un intervalo, unión infinita de intervalos y en algunos casos el conjunto vacío.

Así, el conjunto solución de la desigualdad: x2 – x 2 – x [pic 73] 6 es (-∞, -2] ˄ [3, +∞) y el conjunto solución de la desigualdad x2 + 5

El procedimiento para resolver desigualdades consiste en transformar la desigualdad inicial en una desigualdad EQUIVALENTE (tiene las mismas soluciones). Las herramientas principales para hacerlo es el uso adecuado de las propiedades de orden y sus consecuencias. Ello implica que debemos realizar ciertas operaciones en una desigualdad sin cambiar el conjunto solución. En particular:

Se puede sumar (restar) la misma cantidad en ambos miembros de una desigualdad.

Se pueden multiplicar (dividir) ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad positiva. Se pueden multiplicar (dividir) ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad negativa, pero entonces se debe invertir el sentido del signo de la desigualdad.

Ejercicios Resueltos Sobre Intervalos, Desigualdades y Valor Absoluto

1. Considere los siguientes intervalos:

A = [-3, 3]; B = (-3, 3); C = [-1, 4]; D = (-4, 5].

Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones:

a) A u D b) A n C c) B – C

d) A (B u C) e) B* (el complemento de B) f) C* (el complemento de C)[pic 74]

En primer lugar, se dibuja cada uno de los intervalos dados en la recta real, para luego efectuar de una manera más sencilla las operaciones propuestas.

[pic 75]

Así que:

a. A u D = D = (-4, 5] = {x R / -4 5} [pic 76][pic 77]

b. Como la intersección de dos conjuntos, corresponde