Determinar cuándo un punto crítico es un máximo o un mínimo o un punto de inflexión (criterio de la primera derivada)

...

[pic 8]

a = 0

[pic 9]

b = 0

Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

[pic 10]

a = 3.08 b = -3.08

9.- Mostrar la importancia del teorema de Rolle para la existencia de un máximo o de un mínimo en un intervalo. Mostrar, a través de la derivada, cuándo una función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Mostrar tres ejemplos.

El teorema de Rolle, llamada así en honor del matemático francés Michel Rolle (1652-1719), quien publicó por primera vez el teorema de Rolle en un libro titulado "Méthode pour résoudre les égalitéz" en 1691. Sin embargo, tiempo después, se volvió un fuerte crítico de los métodos de su época y atacó de manera directa al cálculo. Su teorema decía lo siguiente: si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f.

Sea f una función que satisface las siguientes tres hipótesis:

1. [pic 11] es continua en el intervalo cerrado [pic 12].

2. [pic 13] es derivable en el intervalo abierto [pic 14].

3. [pic 15]

Una función f es cóncava hacia arriba (o convexa) en un punto a si la gráfica de la función se queda en un intervalo de centro a por encima de la recta tangente a la gráfica en (a,f(a)), es decir, si [pic 16]es la ecuación de la recta tangente en un punto (a,f(a)) se tiene que f es cóncava hacia arriba en el punto a si

[pic 17].

Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo si es cóncava hacia arriba en todos los puntos de ese intervalo.

[pic 18]

Una función f es cóncava hacia abajo (o cóncava) en un punto a si la gráfica de la función se queda en un intervalo de centro a por debajo de la recta tangente a la gráfica en (a,f(a)), es decir, si [pic 19]es la ecuación de la recta tangente en un punto (a,f(a)) se tiene que f es cóncava hacia abajo en el

punto a si [pic 20]

[pic 21].

Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo si es cóncava hacia abajo en todos los puntos de ese intervalo.

[pic 22]