EL ÁLGEBRA EN TODAS PARTES

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totalmente a defender el argumento que pretendemos.

Para

los griegos de la época de Pitágoras, Dios había creado todo en la naturaleza en base a proporciones de números enteros, a los que llamaron racionales, fue enorme su sorpresa cuando se dieron cuenta que la diagonal de un cuadrado no era un número racional, es decir no se podía expresar como la división de dos números enteros, por ejemplo en un cuadrado de una unidad por lado, si queremos calcular su diagonal, basta con aplicar el famoso teorema de Pitágoras c²= a² + b² para darnos cuenta que la diagonal valdrá √2 el cual no se puede expresar como el cociente de dos números enteros. Hoy en día no es extraño para nosotros hablar de números irracionales, como √2 = 1.4142135624... pero cuando los discípulos de Pitágoras descubrieron esto pensaron que Dios se había equivocado al no darse cuenta que la diagonal de un cuadrado no es un número racional. Hablando de ésta época y del tan famoso Teorema de Pitágoras el cual sirve para relacionar los catetos de un triángulo rectángulo con su hipotenusa, es curioso hacer notar que por ejemplo en China ni siquiera lo conocen de esa forma, si no como el Teorema de Chou, el cuál aparece en un libro Chino del mismo nombre que data de ¡1000 a.c.! . Con lápiz y papel podemos hacer un ejercicio simple pero interesante que nos muestra porqué se pensaba (y no estaban equivocados) que todo en la naturaleza tiene relación con los números: Trazamos un cuadrado de cualquier medida, la base superior se toma como hipotenusa de un triángulo rectángulo, el cual se traza; cada cateto de éste triángulo se toma como lado para trazar dos nuevos cuadrados; a estos dos nuevos cuadrados se les repite el paso anterior trazándoles dos triángulos rectángulos usando como hipotenusa su base y así sucesivamente se continúan el procedimiento repetidamente y el resultado se conoce como árbol de Pitágoras, pues empieza a tomar esa forma ¿una casualidad de las matemáticas y la naturaleza? La respuesta es no; ya que es fácil notar que los árboles cumplen con el Enunciado de Pitágoras ó Chou ó como de ahora en adelante le queramos llamar, ya que se puede observar que cuando el tallo de un árbol, (llamémosle “c” a su diámetro) se divide en 2 ramas (llamémosles “a”, “b” a sus diámetros), el área del tallo es igual a la suma del áreade cada rama, lo cual podemos escribir como c²= a² + b² ; es decir los árboles cumplen con este teorema. En la antigüedad cuando solo existía el conjunto de los números naturales, aquellos enteros positivos que nos sirven para contar (1,2,3,4,5...) notaron fácilmente que operaciones como las restas eran imposibles de hacer, así que vieron la necesidad de adoptar un nuevo conjunto de números: los enteros, estos podían ser tanto positivos como negativos (...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...) aún así faltaban números pues si pretendíamos repartir un pan a cuatro hombres hambrientos, el resultado ya no era un número entero sino racional (1/4), cuando los griegos calcularon la diagonal de un cuadrado descubrieron que aparte de los números racionales, debían considerarse los números irracionales, finalmente terminamos adoptando un conjunto de números llamado “Números Reales”, en el cual están contenidos todos: Los enteros, los racionales, los irracionales, el cero; es decir prácticamente todos los números que conocemos ¿ó tal vez no? Le preguntaré al lector como a cualquier estudiante de bachillerato que se inicia en un curso de tercer ó cuarto semestre, ¿todos los números que existen están contenidos en los Reales? Que pasa si definimos por ejemplo a un número a=1/0(léase el número “a” es igual al cociente de uno entre cero) si pasamos el cero al otro lado de la igualdad tenemos a x 0 = 1 (léase el número “a” multiplicado por cero es igual a uno) algo totalmente absurdo. ¿Qué podemos deducir de lo anterior?La división 1/0 es un número que escapa a lo que conocemos. Si le pedimos a un estudiante que resuelva la siguiente ecuación (recordemos que le llamamos ecuación a una igualdad expresada con números conocidos y no conocidos, es decir variables y constantes)x² + 1 = 0; Él lo encontrará muy fácil y “despejará” el valor de la incógnita, resultando x = √-1 ; ¿Puede el lector decir cuanto vale la raíz cuadrada de–1? Nos daremos cuenta que en los números reales no existe ninguno que multiplicado por sí mismo resulte otro negativo; a la expresión en cuestión se le ha llamado un número imaginario“i” y se dice quei=√-1; y por lo tantoi² = -1; es decir que el cuadrado de un número imaginario es un número real. Los algebristas llegaron a la conclusión de que el conjunto de números más general es el llamado de los números complejos, del cuál derivan tanto los números reales como los imaginarios. Cuando nos tratan de enseñar algo nuevo, la actitud que tomemos hacia la persona que lo transmite y al mensaje es determinante, si pensamos que es aburrido y difícil de entender, la adquisición de nuevos conocimientos es más compleja; durante el tiempo que llevo de impartir clase, muchos alumnos me han hecho saber que entran predispuestos a que las matemáticas son muy difíciles, aburridas y sin utilidad práctica; algunos otros reconocen que sí tienen bastante utilidad pero que no les interesan; también he notado que cuando los chicos encuentran divertido un conocimiento, su atención se centra en la persona que imparte clase y en el mensaje de la misma, así que como un apoyo didáctico y que a su vezmotive a una buena actitud hacia las matemáticas, podemos emplear algunos “juegos” a veces muy simples pero que no dejan de sorprender a quien lo conoce por primera vez, tal es el caso de adivinar el número que una persona está pensando, ó como en un juego de 6 de cartas con números escritos del 1 al 63, con las cuales se puede predecir sin errores el número que una persona escoja siempre y cuando nos diga en qué cartas no aparece dicho número; después se da la explicación de que está basado en elementos matemáticos como la notación base 2. El anterior juego fue propuesto por Martín Gardner. También es importante que nuestros alumnos conozcan el lado humano de las Matemáticas y esto lo podemos lograr mediante la historia de aquellos que con todo su intelecto lograron triunfos tan grandes; recordemos la historia de cómo se llegó a la solución de ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos. Se cuenta que a finales del siglo XV los matemáticos se ganaban la vida trabajando en bancos, participando en juegos de azar y organizando “duelos” en los que demostraban sus proezas mentales ante la gente. En ese tiempo no se tenía una solución para las ecuaciones de tipo ax³+bx²+cx=d; que por cierto presentan