Ejercicios Matematicos.

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- Dados los vectores [pic 76] y [pic 77] = (−2, 2) referidos a una base ortonormal, Calcula:

- [pic 78][pic 79] (Sol: −6)

- 2[pic 80][pic 81] (Sol: −12)

- ([pic 82]+[pic 83])⋅[pic 84] (Sol: 2)

- Calcula el valor de m para que el vector [pic 85] sea unitario. (Sol:[pic 86])

- Calcula un vector unitario y perpendicular a [pic 87]= (8, −6). (Sol: (3/5, 4/5) o (−3/5, −4/5))

- Halla las componentes del vector libre [pic 88], siendo A(2, −3) y B(−5, 9). (Sol (−7, 12))

- Dados los vectores [pic 89]= (2, −1) y [pic 90] = (3, 3), calcula:

- [pic 91][pic 92] (Sol: 3)

- |[pic 93]| (Sol: [pic 94])

- |[pic 95]+[pic 96]| (Sol: [pic 97]

- cos [pic 98] (Sol: [pic 99])

- Halla el valor de x para que los vectores [pic 100] y [pic 101] sean paralelos. (Sol: x = −16/3)

- Dados los vectores [pic 102] e [pic 103], halla los valores de a y b para que [pic 104] e [pic 105] sean perpendiculares y que [pic 106]. [pic 107]

- Dado el vector [pic 108], halla:

- El ángulo que forma con [pic 109] (Sol: [pic 110])

- El valor de k para que [pic 111] sea perpendicular [pic 112] (Sol k = 3/2)

- Averigua cual es el valor de m para que los puntos A(1, 0), B(4, −1), C(m, 2) estén alineados. (Sol: m = −5)

- Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(1, −3) y B(2, 0).

- Calcula el valor de k para que la recta r de ecuación 2x − (k + 1)y − 4 = 0 pase por el punto (1, 1). (Sol: k = −3)

- Calcula el valor de a para que las rectas r: 2x + ay = 3 y s: 3x + 5y = 1 sean rectas paralelas.

(Sol: a = 10/3)

- Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta, r, que pasa por P(3, −2) y es perpendicular a la recta 2x − y + 4 = 0. (Sol: [pic 113] )

- a) Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por P(1, 2) y por el punto de corte de las rectas: x − 2y + 3 = 0 , 2 x + y + 1 = 0. (Sol: [pic 114])

b) Determina la posición relativa de la recta que has obtenido en a) con 2x − 4y +1 = 0.

(Son paralelas)

- Calcula el ángulo formado por las rectas: y = −2x + 3, y = 4x + 1. (Sol: [pic 115])

- Dadas las rectas r: 3x + 4y − 1 = 0 y s: 4x − 3y + 2 = 0, calcular:

- El ángulo que forman. . (Sol: 90º)

- Las ecuaciones de las bisectrices. (Sol: x − 7y + 3 = 0; 7x + y + 1 = 0)

- Dado el triángulo de vértice los puntos A(1, 1), B(−3, 5) y C(−1, −2), calcula la ecuación de :

- La mediana que parte de B. (Sol: 11x + 6y + 3 = 0)

- La altura que parte de C. (Sol: x − y − 1 = 0)

- Averigua en cada caso, la ecuación general de la recta paralela y de la recta perpendicular a r que pasa por el punto (1, 3):

- r: 3x − 2y + 4 = 0 (Sol: 3x − 2y + 3 = 0; 2x + 3y − 11 = 0)

- r: [pic 116] (Sol: x − 3y + 8 = 0; 3x + y − 6 = 0)

- y = −2x + 3 (Sol: 2x + y − 5 = 0; x − 2y + 5 = 0)

- Dados los puntos A(1, 1) y B(3, 2) y la recta r: x − y + 5 = 0. Halla:

- El simétrico de A respecto B. (Sol: (5, 3) )

- El simétrico de B respecto r. (Sol: (−3, 8) )

- Calcula la distancia entre las rectas r y s, siendo r: x + 3y +1 = 0 y s: x + 3y − 2 = 0.

[pic 117]

- Dados el punto P(k, 1) y la recta r: 3x − 4y + 1 = 0, halla el valor de k para que la distancia de P a r sea 3. (Sol: k1 = 6; k2 = −4)

- Halla el punto simétrico de P(2, 3) con respecto a la recta r: 3x − y + 5 = 0. (Sol:[pic 118]

- Dados los puntos P(0, −4), Q(2, −5) y la recta r: −3x + y + 1 = 0, halla la distancia:

- Entre P y Q (Sol: [pic 119])

- De Q a r. (Sol: [pic 120])

- Dado el triángulo de vértices A(2, 4), B(6,5) y C(4, 1), halla:

- Las ecuaciones de las alturas que parten de A y de C. (Sol: [pic 121], [pic 122])

- El ortocentro. (punto de corte de las alturas) (Sol: [pic 123])

- Halla el área del triángulo de vértices A(4, 0), B(2, 3) y C(0, −2). (Sol: 8 u2 )

- Halla la ecuación de la mediatriz del segmento que tiene como extremo los puntos de corte de la recta 3x + 4y − 12 = 0 con los ejes de coordenadas. (Sol:[pic 124])

- Dados los puntos A(−2, 1) y B(1, 3), halla las rectas que pasan por A y distan dos unidades de B

(Sol: y = 1 y 12x − 5y + 29 = 0 )

- Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

- y = x4 − 2x2 (Sol: R)

- [pic 125] (Sol:[pic 126])

- [pic 127] (Sol: [pic 128])

- y = [pic 129] (Sol: (−∞. −2] ∪ [2, +∞))

- y = ln (x2 − 4x + 3) (Sol: (−∞. 1) ∪(3, +∞) )

- A partir de la gráfica de f(x), calcula[pic 130]

a) [pic 131]

b) [pic 132]

c) [pic 133]

d) [pic 134]