Ejercicios complementarios de matematicas
Enviado por Sandra75 • 9 de Enero de 2019 • 760 Palabras (4 Páginas) • 357 Visitas
...
En resumen, f es continua en R f0; 1g = ( 1; 0) [ (0; 1) [ (1; +1).
2. Determina y representa gra camente el dominio de la funcion
(1.75 ptos)
f(x) =
ln(x2)
(1 + x)2
Solucion:
Df = fx 2 R : x2 > 0; (1 + x)2 6= 0g = fx 2 R : x 6= 0; (1 + x) 6= 0g =
fx 2 R : x 6= 0; x 6= 1g = R f 1; 0g = ( 1; 1) [ ( 1; 0) [ (0; +1)
1
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3. Enuncia el Teorema de Bolzano. Apl calo para demostrar que la ecuacion
ln(x) = 2 x
tiene al menos una solucion en el intervalo (1; e). (1.5 ptos)
Solucion:
Teorema de Bolzano: Si f es una funcion continua en [a; b] tal que f(a) f(b)
La ecuacion ln(x) = 2 x es equivalente a ln(x) 2 + x = 0. Consideremos la funcion f(x) = ln(x) 2 + x.
Se tiene que f esta bien de nida y es continua en [1; e], f(1) = 1 0.
Por lo tanto, en virtud del Teorema de Bolzano, existe x 2 (1; e) tal que f(x) = 0, es decir, la ecuacion ln(x) = 2 x tiene una solucion en el intervalo (1; e).
4. Responde a las siguientes cuestiones. (2.25 ptos)
- Calcula la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (2; 1) y (4; 3).
- Calcula la ecuacion de la recta perpendicular a la del apartado anterior y que pasa por el punto ( 1; 2).
- Calcula el coseno del angulo que forma la recta 2y x = 4 con el eje X.
Solucion:
(a) Un vector director de la recta que pasa por a = (2; 1) y b = (4; 3) es v = b a =
(4 2; 3 1) = (2; 4); la pendiente de la recta es m =
v2
=
4
= 2. Con ayuda de la
v1
2
ecuacion punto-pendiente, la ecuacion de la recta que buscamos es
y 1 = 2(x 2) , y = 2x + 5
(b) La pendiente de la recta perpendicular a la del apartado anterior es m1 = 12 = 12 . Si queremos que pase por el punto ( 1; 2), entonces la recta que buscamos es
1
x ( 1)
1
3
y ( 2) =
,
y =
x
2
2
2
(c) La recta 2y x = 4 es y = y = 0 cuya pendiente es m0 = 0. 2y x = 4 y el eje X es
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12 x + 2, y su pendiente es m = 12 . El eje X es la recta Entonces, el coseno del angulo ( ) que forman la recta
1 + mm0
j
1 +
1
0
1
1
2
cos( ) =
j
j
=
2
j
=
=
=
2
2
1
1
5
p
1 + m p
1 + (m0)
q
1 + (
p
1 + (0)2
q
1 +
p
1
q
p
5
2 )2
4
4
[pic 2]
2
---------------------------------------------------------------
5. Dadas las funciones
2
f(x) = 3 + ex 1
y
g(x) =
x
Calcular:
(1.5 ptos)
(a) f 1(x)
(b) (g f)(x)
Solucion:
(a) Despejamos x como funcion de y:
y = 3 + ex 1 ,
y 3 = ex 1
, ln(y
...