El trabajo en mecánica Trabajo de una fuerza

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una partícula

En el caso particular de que la fuerza aplicada a la partícula sea constante (en módulo, dirección3 y sentido4 ), se tiene que

W_{\text{AB}}=\int_{\text{A}}^{\text{B}} \mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf r = \mathbf F \cdot \int_{\text{A}}^{\text{B}} \mathrm d \mathbf r =\mathbf F \cdot \Delta \mathbf r = F s \cos \theta

es decir, el trabajo realizado por una fuerza constante viene expresado por el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento total entre la posición inicial y la final. Cuando el vector fuerza es perpendicular al vector desplazamiento del cuerpo sobre el que se aplica, dicha fuerza no realiza trabajo alguno. Asimismo, si no hay desplazamiento, el trabajo también será nulo.

Si sobre una partícula actúan varias fuerzas y queremos calcular el trabajo total realizado sobre ella, entonces \mathbf F representará al vector resultante de todas las fuerzas aplicadas.

Trabajo sobre un sólido rígido

Para el caso de un sólido el trabajo total sobre el mismo se calcula sumando las contribuciones sobre todas las partículas. Matemáticamente ese trabajo puede expresarse como integral:

W = \int_V \mathrm{d}V \int_{T_0}^{T_f} \mathbf{f}_V(\mathbf{x})\cdot \mathbf{v}(\mathbf{x}) \mathrm{d}t

Si se trata de un sólido rígido las fuerzas de volumen \scriptstyle \mathbf{f}_V puede escribirse en términos de la fuerza resultante \scriptstyle \mathbf{F}_R, el momento resultante \scriptstyle \mathbf{M}_R, la velocidad del centro de masas \scriptstyle \mathbf{V}_{CM} y la velocidad angular \scriptstyle \boldsymbol{\omega}:

W = \int_{T_0}^{T_f} \left( \mathbf{F}_R \cdot \mathbf{v}_{CM} + \mathbf{M}_R\cdot \boldsymbol{\omega} \right)\mathrm{d}t

Trabajo y energía cinética

Para el caso de una partícula tanto en mecánica clásica como en mecánica relativista es válida la siguiente expresión:

\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}

Multiplicando esta expresión escalarmente por la velocidad e integrando respecto al tiempo se obtiene que el trabajo realizado sobre una partícula (clásica o relativista) iguala a la variación de energía cinética:

W = \int \mathbf{F}\cdot\mathbf{v} \mathrm{d}t = \int \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \int \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{p} = \Delta E_c