En el ámbito de la matemática,la parábola

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Factorizar para Encontrar las Raíces de una Parábola

Otras características útiles de una ecuación cuadrática son las raíces de una ecuación cuadrática. Las raíces son puntos donde la parábola toca o cruza el eje x. Las coordenadas x en esos puntos se conocen como intersección en x. (Las coordenadas y son 0.) Dependiendo de la naturaleza de la gráfica (la dirección de la forma de U y la localización del vértice), una función cuadrática puede tener cero, una, o dos raíces. Piensa por un momento sobre cómo se vería una parábola que intersecta el eje x en un solo lugar. O en dos lugares. ¿Cómo se vería una parábola que ni siquiera toca el eje x?

Aquí hay algunos ejemplos de parábolas con uno, dos y cero raíces.

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Para encontrar las raíces de una función cuadrática, podemos igualar la función a 0 (para que la coordenada y sea 0) y resolver la ecuación. Intentémoslo con una función cuadrática simple, con un coeficientea = 1:

Ejemplo

Problema

Encontrar las raíces de [pic 19].

[pic 20]

Como la intersección en xocurre cuando el valor de la coordenada y es igual a 0, encontramos las raíces igualando la ecuación a 0

[pic 21]

Factorizar

0 = x - 2

x = 2

0 = x + 1

x = -1

Usando la Propiedad Cero de la Multiplicacióntenemos que x – 2 = 0 o x + 1 = 0

Resolver ambas posibilidades

Solución

(2, 0) y (-1, 0)

Esta parábola tiene dos raíces

Gracias a la naturaleza simétrica de una parábola, si conocemos las raíces también podemos conocer la coordenada x del vértice. Si hay dos raíces, estará a la mitad entre ellas. En este caso, el vértice esta a una distancia igual entre x = 2 y x = -1, o en x = 0.5.

También podemos factorizar una ecuación cuadrática que tenga un coeficiente a diferente de 1:

Ejemplo

Problema

Encontrar las raíces de [pic 22]

[pic 23]

Empezar por sacar el factor común

[pic 24]

Factorizar el resto de la expresión[pic 25].

[pic 26]

0 = x + 3 o 0 = x -2

Sustituir y por 0 y usar la Propiedad Cero de la Multiplicación.

Solución

(-3, 0) y (2, 0)

Esta parábola tiene dos raíces

La forma factorizada de una ecuación cuadrática también se le denomina forma intersección de una ecuación cuadrática. En esta forma, [pic 27], las intersecciones en x son p y q. Para una función que no tiene raíces, la ecuación no tiene forma intersección. Si la función tiene sólo una raíz, p = q y la forma intersección puede escribirse también como as y = a(x – p)2. Siempre y cuando una ecuación cuadrática pueda ser factorizada, podemos usar este método para encontrar las raíces.

3.1.2 Localización por el método grafico del foco y la longitud del lado recto en contexto.

La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje focal paralelo al eje X es de la forma: (y - k)² = 4p(x - h) y sus elementos son los siguientes:

Foco(h + p, k)

Directriz x = h – p

Eje focal y = k

Donde 4| p | es la magnitud del lado recto y siendo | p | la longitud entre el foco y el vértice.

Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha.

Si p

Si el eje es paralelo al eje Y la ecuación es de la forma (x - h)² = 4p(y - k) y sus elementos son:

Foco (h, k + p)

Directriz y = k – p

Eje focal x = h

Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba.

Si p

[pic 28]

3.1.3 La relación entre la concavidad de la parábola y el signo del termino cuadrático.

La función cuadratica necesita para ser grafica 8 puntos, entre ellos el vértice.

Al graficar una función cuadrática en un plano cartesiano se obtiene una Parábola, la cual puede tener la concavidad hacia arriba o hacia abajo. Para identificar que tipo de concavidad tendrá la función cuadrática, basta con observar el coeficiente del primer término, es decir, el término que tiene la variable elevada al cuadrado.

Si el coeficiente es positivo entonces la concavidad será hacia arriba, en caso contrario la convacidad será hacia abajo.

La función cuadrática se comienza a estudiar en segundo año de Educación Media General, donde se le conoce como Trinomio, se trabaja con el polinomio que representa la función, para encontrar la raíces del mismo, aplicando la factorización.

Luego en Tercer año, se comienza con un repaso de las tres factorizaciones que se le pueden aplicar a un Trinomio, es decir a una ecuación cuadrática. Y se enseña que existe un método que abarca a todas las Factorizaciones que es la aplicación de la “Resolvente“.

Con la resolvente se puede identificar cuando la función cuadrática, corta al eje en dos raíces distintas o iguales, o