¿En qué medida las funciones hiperbólicas intervienen en la elaboración de una ecuación para hallar el área debajo de la cuerda de la catenaria?

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1.2- Funciones Exponenciales e inversas:

Cuando escuchamos la palabra “exponencial” inmediatamente se nos viene a la mente la palabra “potencia”, lo cual está relacionado de una u otra forma a una función exponencial.

Se le conoce como función exponencial debido a que el exponente es una variable. Así una función exponencial es aquella función inversa a la logarítmica conocida como “, donde es cualquier número y donde ”. Así también tenemos la función real , donde es el número de Euler, con un valor aproximado de 2,71828. También es necesario saber que todas las funciones exponenciales tienen su dominio (-∞; ∞) y rango (0; ∞), por lo cual ninguna función exponencial es equivalente a cero. [pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Así también una función exponencial presenta su asíntota, la cual está dada en el eje horizontal donde se empieza a formar una línea recta de tal manera que se aproxima a un valor de acuerdo a la función dada.

Ejemplos de funciones exponenciales:[pic 26]

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Apreciamos las asíntotas en las gráficas las cuales son las líneas rectas pero que no llegan al número que aparentemente se ve a simple vista sino que esta aproximadamente.

1.3.-Funciones Hiperbólicas:

De acuerdo con Pino, C. nos define funciones hiperbólicas a aquellas que “pueden describir como las proyecciones, según el eje X y el eje Y, de los puntos sobre una hipérbola” (2006, p.3), entonces podemos decir que funciones hiperbólicas son aquellas cuyas definiciones se basan en funciones exponenciales y son análogas a las funciones trigonométricas.

Teniendo esto en claro entonces tenemos:

- El seno hiperbólico:

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- El coseno hiperbólico:

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Y a partir de ello se desprenden las siguientes funciones hiperbólicas:

- La tangente hiperbólica:

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- Cotangente hiperbólica

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- Secante hiperbólica

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- Cosecante hiperbólica

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1.4.-Catenarias:

De acuerdo con Ivarro, C. nos dice que una catenaria es una curva “cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la gravedad” (2008, p.1). Por otro lado, nos dice también que una catenaria viene a ser un conjunto de acuerdas que pasan por los puntos (x0; y0), (x1; y1) y una longitud L.

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Asimismo, García, P. (s.f.) nos aclara la idea de catenaria definiéndola como cuerda o cadena colgada en dos soportes, la cual no debe estar tensa sino debe adaptar la forma de una curva. Entonces a partir de ello podemos decir que un cable telefónico, los cables de suspensión de un puente son ejemplos claros de catenaria. Además nos dice que la formación de una catenaria se debe al peso y la tensión que esta puede tener pero que sus ecuaciones adaptan las formas de exponenciales.

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CAPÍTULO 2: MARCO EXPERIMENTAL[pic 42]

2.1. Ecuación de la Hipérbola referida a los ejes

Teniendo como referencia la siguiente gráfica: [pic 43]

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Donde x e y son las coordenadas del punto M de la hipérbola cuyos ejes coinciden con las asíntotas. Entonces la ecuación de la hipérbola tendrá forma de: Tomamos como nuevos ejes de la hipérbola a los ejes aa y bb. Designamos con X e Y las coordenadas del punto M, expresando así las viejas coordenadas de x e y.[pic 89]

Se tiene N como una proyección del punto M al eje aa a las proyecciones de los puntos M y N a los ejes Ox, Oy, las reemplazaremos por P, Q, K y L. Entonces tendríamos:

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Debido a que la proyección de un segmento a una recta que forma con el segmento del angulo de 45° es igual a al longitud del segmnto multiplicada por el cos de 45°. Aunque:[pic 92]

Por lo que obtendríamos: [pic 93]

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(II)[pic 95]

Entonces si sustituimos en la fórmula I obtendríamos la ecuación de la hipérbola referida a los ejes o a las asíntotas:

xy=a

[(X-Y) ] [(X+Y) ]= a[pic 96][pic 97]

(X2 – Y2) = a[pic 99][pic 98]

X2 – Y2= 2a

La hipérbola unidad tiene como ecuación

X2 – Y2= 1

La cual es semejante a la de la circunferencia unidad:

X2 + Y2= 1

La ecuación de la hipérbola unidad en el sistema de coordenada cuyos ejes coinciden con las asíntotas, tiene la forma de

xy