Ensayo Funciones.

...

¹ 0. Probar si es inyectiva.

Solución

h (x1) = h (x2) Þ a x1 + b = a x2 + b

Þ a x1 = a x2

Þ x1 = x2

Función sobreyectiva

Definición: Una función f : X ® Y es sobreyectiva si o, lo que es lo mismo, " y Î Y , $ x Î X / f (x) = Y

Observar que esta condición dice que todo elemento de Y tiene una preimagen.

Ejemplos

1. La siguiente función es sobreyectiva

2. Una función Lineal h : R ® R Está definida h (x) = a x + b, a ¹ 0. Probar si es sobreyectiva.

Solución

Para y Î R, tomamos x = y tenemos que h(x) = h = a

Función biyectiva

Definición: Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo

La siguiente función es biyectiva:

Ejercicios Propuestos

1. Probar que la siguiente función es biyectiva f : R  R se define f (x) = x2

2. Probar que la siguiente función es biyectiva. f : R R Se define f (x) =

o Sea X cualquier conjunto. Es evidente que la función identidad de X, Ix : X  X

Ix (x) = x, es biyectiva.

o Una función lineal h: R  R. h(x) = a x + b, a  0 es biyectiva, ya que en los ejemplos anteriores nos dicen que h es inyectiva y sobreyectiva.

Función Inversa

Una función f: X ® Y es inversible o invertible si su relación inversa f -1: Y ® X es también una función. En este caso diremos que f -1: Y ® X es la función inversa de f.

Ejemplo

1. Sean X = { a, b, c} , y = { 1, 2, 3} . La función f : X ® Y, dada en el siguiente diagrama de la izquierda, es invertible.

En efecto, el diagrama de la derecha nos muestra que la relación inversa f -1 : Y ® X es también una función.

Observación: Si f : X ® Y es inversible, entonces Y= f (x) Û x f y Û y f 1 x Û x = f 1 . O sea,

Y = f (x) Û x = f 1

Ejemplo

1. Sea f : X ® Y una función. Entonces f es biyectiva Û f es inversible.

Demostración

( Þ ) Debe probar que la relación inversa f -1 : Y ® X es una función

Sabemos que (1) dom (f 1) = rang(f)

Además, por ser f: X® Y sobreyectiva, se tiene que (2) rang(f) = Y

Luego, de (1) y (2) obtenemos que (3) dom(f 1 ) = Y

Por otro lado:

(4) Y f -1 X Y f -1 Z Û x f y Ù z f y

Û y = f(x) Ù y = f(z)

Þ f(x) = f (z)

Þ x = z, ( f es inyectiva)

Las expresiones (3) y (4) nos dicen que f -1 : Y ® X es una función.

(Ü ) Sobreyectividad

rang(f) = dom(f 1)

= Y, (por ser f -1