Funciones. Actividades

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Una función f: X → Y es inyectiva o es una inyección si satisface la condición.

f(x1) = f(x2) → x1 = x2

o, lo que es lo mismo (contrarrecíproco)

x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)

Observar que la condición anterior simplemente dice que cualquier elemento de Y tiene a lo más una preimagen

La siguiente función es inyectiva.

Ejemplo: La siguiente función es inyectiva:

g: N → N

g(n) = 2n

En efecto:

g(n) = g(m) → 2n = 2m → n = m

Funciones Sobreyectivas

Una función f: X → Y es sobreyectiva si

rang(f) = Y

o, lo que es lo mismo,

∀ y ∈ Y, ∃x ∈X / f(x) = y

Observar esta condición dice que todo elemento de Y tiene una preimagen.

La siguiente función es sobreyectiva.

Ejemplo: Una función lineal h: ℝ → ℝ

h(x) = ax + b, a ≠ 0

es sobreyectiva.

En efecto:

Para y ∈R, tomamos x = y-b/a

y tenemos que

h(x) = h(y-b/a) = a(y-b/a) + b = y

Funciones Biyectivas

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

La siguiente función es biyectiva.

Ejemplo: La función identidad de X es biyectiva.

Ix: X → X

Ix(x) = x

Función Inversa y Composición

Una función f: X → Y es invertible si su relación inversa f-1: Y → X es también una función.

En este caso, diremos que f-1: Y → X es la función inversa de f.

Ejemplo: Sean X = {a,b,c}, Y = {m,n,r}. La función f: X → Y dada en el siguiente diagrama de la izquierda es invertible.

En efecto, el diagrama de la derecha nos muestra que la relación inversa f-1: Y → X es también una función.

Observación: Si f: X → Y es invertible, entonces

Y = f(x) ↔ x f y ↔ y f-1 x ↔ x = f-1 (y).

O sea,[pic 4]

Composición de Funciones

Si f: X → Y y g: Y → Z son dos funciones, es fácil ver que la relación compuesta.

g º f: X → Z

Es también una función, a la que llamaremos función compuesta de f con g.

De acuerdo a la definición de composición, tenemos que

g º f: X → Z

(g º f) (x) = g(f(x))

Ejemplo: Dadas las funciones

f: ℝ → ℝ g: ℝ → ℝ

f(x) = x2 g(x) = x + 1

Entonces

- (g º f) (x) = g(f(x)) = g(x2) = x2 + 1

- (f º g) (x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

Imágenes de Conjuntos

Sean f: X → Y una función, A y B dos conjuntos tales que

A c X y B c Y

- Se llama imagen de A mediante f al conjunto

f(A) = {f(x) ∈ Y / x ∈ A}

o bien

f(A) = {y ∈ Y / ∃ x ∈ A ^ y = f(x)}

- Se llama imagen inversa de B mediante f al conjunto

f-1(B) = {x ∈ X / f(x) ∈ B}

Ejemplo: Sean X = {a,b,c,d,e,m,n,p}, Y = {1,2,3,4,5},

A = {b,d,e,m,p}, B = {1,3,4}

y f: X → Y la función dada por el diagrama.

Entonces,

f(A) = {2,3,4,5} y f-1(B) = {b,c,e,m,n}