Funciones Matemáticas - Resumen

...

u = g (v)

es una forma legítima de expresar que el valor de una variable dependiente u está determinado por una variable independiente v. Y el nombre de la función, o la regla, que relaciona las dos variables es g.

Supóngase q ue, el patrón del ejemplo anterior ha dado al lector una ecuación para determinar su sueldo semanal, a saber:

y = f(x) = 3x + 25 (1.1)

La regla específica que determina y es

f(x) = 3x + 25

dado cualquier valor para x, la sustitución de ese valor en f producirá el valor correspondiente de y. Por ejemplo, si se quiere calcular el sueldo semanal después de vender 100 unidades, la sustitución de x = 100 en la ecuación (1.1) da

y = 3(100) + 25

= $325

Para la función y = f(x), el valor de y que corresponde al valor de entrada x = b se denota por medio de f(b).

En la ecuación (1.1), el sueldo asociado a la venta de 75 unidades puede denotarse por f(75). Para evaluar f(75), basta sustituir el valor x = 75 en la ecuación (1.1) dondequiera que aparezca la letra x, o sea

f(75) = 3(75) + 25

= $250

De manera semejante, el valor de y correspondiente a x = 0 se denota por f(0) y se calcula como f(0) = 3(0) + 25 = $25.

La figura 1.3 es un diagrama de la función de sueldo y muestra la naturaleza de entrada-salida.

FIGURA 1.3[pic 19]

Función de Entrada x y

Sueldo Unidades vendidas Sueldo semanal ($) [pic 20][pic 21]

semanal. Por semana

EJEMPLO 2

Dada la relación funcional

Z = h(t) = t² + t - 10

- h(0) = (0)² + (0) – 10 = -10

- h (-5) = (-5)² + (-5) -10 = 25 - 5 – 10 = 10

- h(u + v) = (u + v)² + ( u + v) - 10 =

u² + 2uv + v² + u + v - 10 = u² + u + 2uv + v + v² - 10

nótese en el inciso c que el valor de entrada de t es la suma de u + v y se utiliza el mismo procedimiento que en los incisos a y b

EJEMPLO 3

El departamento de policía de una ciudad pequeña estudia la compra de un carro de patrulla adicional. Los analistas de la policía estiman que el costo del carro ( subcompacto pero de gran potencia), completamente equipado, es de 18, 000 dólares. Han estimado también un costo promedio de operaciones de 0.40 dolares por milla.

- Determínese la función matemática que represente el costo total C de la compra y operación del carropatrulla, en términos del número de millas x que recorra.

- ¿Cuál es el costo proyectado si el carro recorre 50,000 millas en su vida útil?

- ¿Si recorre 100,000 millas.

SOLUCION

- en este ejemplo se pretende determinar la función que relacione el costo total C con las millas recorridas x. He aquí la primera pregunta: ¿ Cuál variable depende de la otra?. Si leemos nuevamente el problema y se reflexiona un poco sobre las dos variables, podemos llegar a la conclusión de que el costo total C es la variable dependiente, es decir:

C = f(x)

En este punto, se estará en la posibilidad de escribir la función de costo como:

C = f(x) = 0.40x + 18,000

El costo total de la compra del carropatrulla es la suma del costo del vehículo más el costo de operación y que, expresado en palabras es:

C = f(x)

C = Costo de Operación + Costo de compra

C = (Costo de operación por milla)(numero de milla) + Costo de Compra

o bien C = 0.40x + 18,000

- Si el carropatrulla recorre 50,000 millas, se estima que los costos totales son iguales a:

C = f(50,000) = 0.40 (50,000) + 18,000

C = 38,000 dólares

- De manera semejante, en un recorrido de 100,000

C = f(100,000) = 0.40 (100,000) + 18,000

C = 58,000 dólares

CONSIDERACIONES DE DOMINIO Y RANGO

El dominio de una función se definió como el conjunto de todos los posibles valores de entrada. Nos concentraremos en las funciones de valores reales, por lo cual el dominio se compone de todos los valores reales de la variable independiente para los cuales la variable dependiente se define y es real. Cuando se requiere determinar el dominio, suele ser más fácil identificar todos los valores que no están incluidos en el dominio (esto es, se encuentran las excepciones). Si se conoce el dominio, el rango o recorrido de una función es el conjunto correspondiente de valores de la variable dependiente. Algunas veces es más difícil definir el rango que el dominio, sin embargo este tema lo abordaremos más adelante.

EJEMPLO 4

En la función y = f(x) = x² - 2x + 1

x puede ser sustituida por cualquier valor real, resultando un valor correspondiente y único de y. Si D se define como el dominio de f, entonces podemos escribir el dominio como:

D = { x /x es real}

EJEMPLO 5

La función u = f(v) = 1/(v² - 4)

Tiene la forma de un cociente. Los valores de v que resulten en el denominador y que sean iguales a 0 quedarán excluidos del dominio. En efecto el denominador es igual 0 cuando v² - 4 = 0 o bien cuando v adopta los valores + 2 y –2. el dominio de la función incluye todos los números