LAS FUNCIONES POLINOMICAS

...

LAS FUNCIONES POLINÓMICAS

En la gráfica de una función polinómica pueden diferenciarse dos elementos: las ramas y la parte central, también los máximos y los mínimos, y los puntos de corte con los ejes: la rama de la derecha se dirige hacia arriba cuando el coeficiente de grado máximo es positivo, y hacia abajo cuando es negativo.

[pic 5]

La rama de la izquierda se dirige hacia abajo cuando el polinomio es de grado par y el coeficiente de grado máximo es negativo, o bien, cuando el polinomio es de grado impar y el coeficiente de grado máximo es positivo, en caso contrario, el extremo de la izquierda se dirige hacia arriba.

CARACTERISTICAS DE LA FUNCION POLINOMICA

En cuanto a las ramas de las funciones polinomicas nunca serán rectas, si miramos sus extremos comprenderíamos que el dominio representado es muy extenso y en cuanto a la gráfica nos da una idea de cómo continua la función, hay varias formas de dirección como ambas hacia arriba, ambas hacia abajo, o bien, una rama hacia arriba y otra hacia abajo, como se ilustran en la gráfica siguiente.

[pic 6]

f(x) = 4x 4 – 3x 3 – 5x 2 – x – 12

g(x) = 5x 5 – x 4 – 3x 3 + 5x 2 – x – 3

h(x) = –3x 6 – 5x 5 + 3x 4 + 3x 3 + 8x 2 – x – 10.

ambas hacia arriba, 3 pliegues

una hacia arriba y otra hacia abajo, 2 pliegues

ambas hacia abajo, 3 pliegues

Unas simples norman que te ayudaran a tener un conocimiento de saber dónde se dirigen los extremos de las funciones polinomicas.

- la rama de la derecha se dirige hacia arriba cuando el coeficiente de grado máximo es positivo, y hacia abajo cuando es negativo.

- la rama de la izquierda se dirige hacia abajo bien cuando el polinomio es de grado par y el coeficiente de grado máximo es negativo, bien cuando el polinomio es de grado impar y el coeficiente de grado máximo es positivo. en caso contrario, el extremo de la izquierda se dirige hacia arriba.

Si observamos la gráfica también podemos concluir que en aparte central los pliegues dependen del grado del polinomio, entre mayor sea el grado, la gráfica podría tener más pliegues, es importante q sepamos q a grafica de la función se contempla de izquierda a derecha.

La gráfica puede ser creciente o decreciente varía según el número en x, como por ejemplo en cuanto a creciente si en x aumenta el valor de la función aumenta y en decreciente si en x aumenta el valor de la función disminuye.

METODOS DE SOLUCION DE UNA FUNCION POLINOMICA

El primer método para la solución de funciones polinomicas se llama raíces y consiste en que un número r es una raíz a de una función polinómica es un valor donde f(a)=0 recordando que si a×b=0 entonces a=0 o b=0, luego necesitamos factorizar f(x), e igualar cada factor a cero.

EJEMPLO: considera la función f(x) = x2 - 4 ilustrada gráficamente:

[pic 7]

Muestra que las intersecciones con el eje x en -2 y en 2 son las raíces o soluciones de f(x) = x2 - 4, de manera que f(-2) = (-2)2 - 4 = 0 y f(2) = (2)2 - 4 = 0.

DIVISIÓN SINTÉTICA

Es un método rápido en la búsqueda de raíces de funciones polinómicas de grado superior que utilizaremos en el próximo tema. Este método requiere que los términos de la función polinómica se acomoden en orden descendente y que el término ausente se sustituya por cero.

REGLA RUFFINI

En matemáticas, la regla de ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma[pic 8]. Descrita por Paolo ruffini en 1809, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»).1 el algoritmo de horner para la división de polinomios utiliza la regla de ruffini (también se la conoce como método de horner o algoritmo de ruffini-horner). La regla de ruffini permite asimismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma [pic 9] (siendo r un número entero) si es coherente.

ejemplo 1:

a = 10 x2 - 5 - 3x4 + 2x3

b = x + 2

a:b = (10x2 - 5 - 3x4 + 2x3) : (x + 2) =

1) polinomio a ordenado y completo: -3x4 + 2x3 + 10x2 + 0x - 5

2) el término independiente del polinomio divisor, con el signo "cambiado": -2

[pic 10]

cociente = -3x3 + 8x2 - 6x + 12

resto: -29

Solamente se puede aplicar la regla de ruffini cuando el divisor es un binomio de la forma: (x - a). Por ejemplo: (x - 3), (x + 2), (x - 1/2), etc.

Para aplicar la regla de ruffini, se ponen los coeficientes de dividendo

-completo y ordenado de mayor a menor grado-, y el opuesto del número "a" del divisor (el opuesto del término independiente. si es una suma, queda un número negativo. si es una resta, queda un número positivo). Las x (o letras) del polinomio se quitan, y se hacen determinadas operaciones entre los números (ver en la explicación todos los pasos). Luego, en el resultado, el último número de la derecha es el resto de la división; y los otros números son los coeficientes del cociente (resultado de la división), a los que hay que agregarles las "x" en orden de izquierda a derecha, comenzando por un grado menos que el del dividendo y disminuyendo hasta llegar a un término independiente (grado cero).

APLICACIÓN

En cuanto a la función polinomica se puede ver representativo en algunas situaciones cotidianas tanto de personas comunes como profesionales, es aquí donde está la importancia de tener conocimiento de esta función ya que por su estructura simple es fácil de resolver ejercicios matemáticos como describir fenómenos reales. A continuación daremos unos ejemplos comunes de la utilización de