La integral. Construcción del concepto de área bajo la curva

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[pic 5]

O bien

[pic 6]

Entonces podemos decir que en forma general la notación sigma la podemos generalizar como:

[pic 7]

Debemos puntualizar que el lado derecho de esta ecuación consiste en la suma términos, en donde el primero de ellos lo obtendremos sustituyendo el valor de “i” por “m” en “”, el segundo reemplazando “i” por el valor (m+1) en “”, y así sucesivamente hasta llegar al valor de “n”.[pic 11][pic 8][pic 9][pic 10]

Cuando hablamos del cálculo del área bajo una curva, hablamos del cálculo de la medida del área en una región (ver figura 3).

Podemos darnos cuenta que la región “R” esta limitada por el eje x de las abscisas, las rectas la curva cuya ecuación es , considerando desde luego que es continua en el intervalo [a,b]. En este caso para asignar la medida del área a la región “R” , seguiremos un procedimiento similar al de que propusimos para el caso de un polígono pero para nuestro caso emplearemos una figura quizá mas regular en una conformación encerrada de la manera en que esta “R”, en este caso usaremos rectángulos. Para este procedimiento podremos entonces decir que:[pic 15][pic 12][pic 13][pic 14]

Para este caso tomamos rectángulos circunscritos a la región, donde la altura de estos rectángulos es el valor máximo absoluto de “” para cada subintervalo. La suma de las áreas de los rectángulos será por lo menos tan grande como el valor de la medida del área de la región “R”, pudiendo demostrar que el límite de estas sumas, cuando n crece indefinidamente (osea el número de rectángulos crece indefinidamente), es exactamente igual que el límite de las medidas de las áreas de los rectángulos inscritos, entonces concluimos que el área de la región “R” esta dada por:[pic 17][pic 16]

[pic 18]

Donde es el valor máximo absoluto de “” en .[pic 19][pic 20][pic 21]