Laboratorio de ley de arquiímedes.

...

El objeto en la parte superior del plano tiene una energía potencial U=mgh , respecto a la base;esta energía se transforma en energía cinética de manera que:[pic 23]

[pic 24]

De donde despejando , se tiene: .[pic 25][pic 26]

Ahora, como el objeto que viaja es una esfera de radio r y masa m, la energía cinética que asquiere es la suma de la energí cinética de traslación del centro de masas y la energía cinética de rotación, es decir:

[pic 27]

Entonces, la energía potencial inicial se transforma en las dos formas de energía cinética, lo cual se expresa como:

[pic 28]

Si el objeto que usamos es una esfera, su inercia total es: de manera que la ecuación para la energía sería:[pic 29]

[pic 30]

Reduciendo los factores apropiados se obtiene que:

[pic 31]

Lo siguiente que hay que considerar en este movimiento es que el radio de giro (r) no es el mismo que el radio de la esfera (R), en la Fig. 2

[pic 32]

Fig. 2. Deducción del radio efectivo producido por el riel acanalado

En este caso, la velocidad tangencial de un punto en la superficie de la esfera es diferente de la velocidad del centro de masas. En este caso, el radio de giro se relaciona con el radio efectivo de la esfera de la manera siguiente:

Definiendo el radio efectivo:

[pic 33]

=[pic 34]

De este modo, si se aplica la condición de rodamiento sin deslizar (Que es precisamente la que se quiere asegurar con el riel acanalado) donde .[pic 35]

Aplicando la segunda ley de Newton de cuerpos con rotación, con la anterior condición se tiene que:

[pic 36]

[pic 37]

De modo que reemplazando con la condición de rodadura y despejando de las ecuaciones anteriores, se tiene que:[pic 38][pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

Si se tiene en cuenta que N= por estar en un plano inclinado. Por otro lado, si se considera el valor de r deducido por radio efectivo y se reemplaza, se tiene que: [pic 42]

[pic 43]

La ecuación finalmente se expresaría como una ecuación que consideraría que para que se cumpla la condición de rodadura, es decir, que la esfera ruede sin deslizar, debe existir un mínimo coeficiente de fricción entre la esfera y la superficie. De modo que:

[pic 44]

Considerando que entonces la relación anterior tiende a considerar sólo el numerador, con un denominador igual a 1, es decir .[pic 45][pic 46]

De modo que:

[pic 47]

Con el objetivo de tener una expresión lineal que facilite tener una visión de la relación entre la velocidad que el cuerpo toma () y la longitud de la abertura del canal del riel (W) se definen los puntos de una recta lineal X y Y.[pic 48]

En este caso, al despejar los debidos términos:

[pic 49]

En este caso, se definen como X y Y:

[pic 50]

[pic 51]

Siguiendo la ecuación que contiene las definiciones se tiene en cuenta que la pendiente p de esta es: p=.[pic 52]

Ahora, si se considera que el movimiento de la esfera es de modo parabólico, de las ecuaciones con la segunda ley de Newton para movimiento rotatorio se define que la velocidad es:

[pic 53]

Esta ecuación resulta ser la más importante para medir la velocidad únicamente con el ángulo de inclinación, la distancia y la altura .[pic 54][pic 55]

- RESULTADOS

Habiendo definido específicamente en el diseño experimental los datos que servirían para hallar la velocidad y la relación entre ésta () y la longitud de la abertura del canal del riel (W) para así, tener con la pendiente de dicha relación un valor teórico que pueda definir el error del experimento o su debida precisión con la aceleración de la gravedad por medio de la ecuación de la pendiente p=, se muestra a continuación la tabla de mediciones:[pic 56][pic 57]

TABLA I. Mediciones del Montaje Experimental

W

(±0,005 m)

[pic 58]

(±0,05 m)

[pic 59]

(±0,05 m)

[pic 60]

(m/s)

0

0,765

1,155

2,059

0,001

0,761

1,155

2,047

0,002

0,756

1,155

2,033

0,003

0,752

1,155

2,021

0,004

0,75

1,155

2,015

0,005

0,741

1,155

1,989