LÍMITES LATERALES. INVESTIGACION

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Límite: [pic 1]

Siempre que "x" se aproxime a "a", sin llegar a alcanzar nunca este valor, f(x) se aproxima a "A".

Si dos funciones f(x) y g(x) toman valores iguales en un entorno reducido de un punto de acumulación x=a y una de ellas tiene límite l en ese punto, la otra también tiene límite l en a.

Si una función tiene límite en un punto, ese límite es único. Una función no puede tener dos límites distintos en un punto.

Si una función tiene límite l en un punto, en un entorno reducido del mismo, la función toma valores menores que cualquier número mayor que el límite y mayores que cualquier número menor que el límite. Esta propiedad contiene dos subpuntos, los cuales son:

Si una función tiene en un punto un límite distinto de cero, en un entorno reducido del punto, la función determina valores del mismo signo que su límite.

Toda función que tiene límite finito en un punto, está acotada en un entorno reducido del mismo.

Si en un entorno reducido de un punto, los valores que determina la función están comprendidos entre los de otras dos funciones que tienen el mismo límite en ese punto, ella también tiene ese mismo límite en el punto.

TEOREMAS SOBRE LÍMITES

Para facilitar la resolución de los límites recurriremos a los siguientes teoremas:

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

Ejemplo:

[pic 5]

LÍMITES LATERALES

En algunas funciones como las definidas por partes y las de dominio restringido, como las que tienen raíces cuadradas, se aplican los límites laterales. Por ejemplo, en las funciones con radicales con índice par no tiene sentido hablar del límite en puntos a, extremos de los intervalos que conforman el dominio, pero los valores de la función se pueden acercar a un número cuando la variable se acerca por la derecha o por la izquierda al punto en cuestión. En las funciones definidas por intervalos servirán para establecer si la función tiene límite en los puntos donde la función cambia de fórmula y en caso que tenga límite en algún punto, determinar su valor.

Si hablamos desde el punto de vista de los números reales podríamos abarcar infinito e infinitésimo, teniendo esto en cuenta podemos entender que si tenemos 2 números entonces podemos encontrar números infinitos entre ellos, un ejemplo de esto es si tomemos dos números, por ejemplo, 4 y 5, busquemos un número real entre ellos, podemos tomar 4,5 que está entre 4 y 5 → 4 .… 4,5 ….. 5

Ahora busquemos un número entre 4 y 4,5 (podemos tomar 4,3 que está entre 4 y 4,5) →4 …… 4,3 ….. 4,5

Ahora siguiendo el procedimiento anterior encontramos un numero entre 5 y 5,3 (podemos tomar 5,1 que está entre 4 y 4,3) →4 ……. 4,1 …… 4,3

Como ya vimos en el ejemplo anterior este bucle se puede volver infinito ya que la sucesión entre estos causan que existan muchas combinaciones, un ultimo ejemplo para que quede claro si tenemos 4 y 4,1 (podemos tomar 5,08 que está entre 4 y 4,1) →4 …… 4,08 …. 4,1

Podemos seguir así eternamente. Siempre nos podremos acercar al número “4” todo lo que queramos sin llegar a él. Justamente “4” es el límite que no podemos tocar. Como nos acercamos desde valores mayores a 4, se dice que nos “acercamos por la derecha“.

La definición de un límite está estrechamente unida al concepto de función. Cualquier número que se acerque a 4 (en este ejemplo) pueden obtenerse de una ecuación (lineal por ejemplo) como y = 4 + x. Donde al darle valores a x obtenemos “esos” números que se acercan a 4 por derecha e izquierda. Evidentemente, de acuerdo al tipo de ecuación que tengamos, serán los valores de x a tomar en cuenta.

En este caso no nos interesa cuando x = 0, ya que no queremos que “la cuenta” de 4 (que es nuestro límite).

x

y = 4 + x

– 0,1

3,9

– 0,01

3,99

– 0,001

3,999

– 0,0001

3,9999

¬ Por izquierda Por derecha →

x

y = 4 + x

0,1

4,1

0,01

4,01

0,001

4,001

0,0001

4,0001

El valor de x se acerca a “cero” y el valor de “y” (la imagen de la función) se acerca a 4. Debemos entender que ya no podemos usar un lenguaje de nivel normal y referirnos a este ejemplo como “se acerca a”, y debemos comenzar a decir que “tiene a”; x tiende a cero cuando y tiende a cuatro. Es real, a los que hacemos matemática no nos gusta escribir mucho. Se reemplaza las palabras con símbolos para ahorrar tiempo (el esfuerzo mental se reserva para el problema matemático). Así que en vez de escribir “tiende a” se pone una flecha. De manera que “x tiende a cero” se indica “x → 0″ e “y tiende a cuatro” se escribe como “y → 4″.

Ya estamos un poco más cerca de poder leer “matemáticamente”. El límite (lím) suele escribirse indicando debajo de él el valor a que tiende x, seguido de la ecuación que se analiza y (después del igual) se indica el valor del límite.

[pic 6][pic 7]

No siempre los límites laterales (izquierda y derecha) son iguales. Analicemos la siguiente

función.[pic 8]

Para hallar el límite de esta función (paramétrica) debemos separar la parte