Método de Newton-Raphson
Enviado por Stella • 17 de Abril de 2018 • 2.801 Palabras (12 Páginas) • 427 Visitas
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Gráfico 1: f(x)= e2x – 1/x
[pic 29]
En este caso, se despejará la incógnita por medio del gráfico de las curvas y = ex; y = 1/x. Al resolver en la calculadora se puede apreciar que sale la misma respuesta que la hallada por el método de Newton sólo que está con 8 c.s. No obstante, queda claro que el método resulto útil para el cálculo de este valor, y además se muestra que no se necesitaron más de 6 iteraciones para hallar el valor de x.
Una vez comprobado por medio de este ejemplo la efectividad del método se utilizará este método para poder resolver problemas con calculadora de ecuaciones de los exámenes pasados de IB. Se extrajo un problema del examen de la prueba 2 de mayo 2009 de nivel medio, el cual plantea que resolvamos la ecuación:
[pic 30]
Primero que todo se volverá la ecuación a f(x) = 0:
[pic 31]
Se procederá a derivar la función:
[pic 32]
Una vez hallado esto se reemplazará en la ecuación de Newton:
[pic 33]
Se procederá a graficar ambas funciones para conocer aproximadamente que valor tomar como x0. El dominio ya fue dado el cual es ; y como rango se tomará de 0 a 10. En la función, el último valor es por lo cual un valor aproximado para x0 sería de 6. Ahora se procederá a realizar el método de Newton para hallar los valores de x. (colocando las respuestas a 9 c.s)[pic 34][pic 35]
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
Tabla 2: Valores obtenidos de X
Índices de x
Valores Obtenidos
X0
6.00000000
X1
4.98759137
X2
3.95366296
X3
2.95091389
X4
2.15418577
X5
1.66616661
X6
1.43523414
X7
1.37039155
X8
1.36499532
X9
1.364958435
X10
1.364958434
El número máximo de iteraciones es 10, y se puede tomar ese último valor como el verídico. Ahora que señalamos que la respuesta es , se procederá a corroborar la respuesta con el resultado que arrojará la calculadora.[pic 39]
Gráfico 2: f(x) = ex-4sinx
[pic 40]
Una vez hallado el valor queda en evidencia que la respuesta que se ha hallado por el método de newton es la misma que la hallada por la calculadora. Debido a esto se puede señalar y validar al método de newton como válido para resolver este tipo de ecuaciones y problemas del IB. No obstante, esa no es la respuesta al problema planteado ya que, al ver el gráfico en la página previa, se ve que existen dos respuestas, es por ello que ahora se procederá a realizar el método de newton, otra vez, pero con el valor mínimo de x de la función el cual sería 0. (Todo se pondrá a 9c.s.) Por lo que:
[pic 41]
[pic 42]
Tabla 3: Valores obtenidos de X
Índices de x
Valores Obtenidos
X0
0.000000000
X1
0.333333333
X2
0.370557686
X3
0.370558096
X4
0.370558096
X5
0.370558096
El valor de x sería entonces , además del valor ya calculado previamente el cual es . Por lo cual, se puede apreciar que existen dos respuestas para el problema las cuales son las mostradas, ahora se procederá a corroborar si estas son las que señala el IB como respuesta al problema. [pic 45][pic 43][pic 44]
Viendo el markscheme del examen se ve que ambas respuestas son las mismas que las que se han hallado utilizando el método de Newton Raphson esto da por evidencia que este es útil también para resolver los problemas que se puedan presentar en el examen internacional de matemática nivel medio.
El método de Newton-Raphson no sólo es útil y empleado para la resolución de ecuaciones, sino que también puede ayudar a poder encontrar los valores de los números irracionales. Se procederá a realizar un ejemplo de cómo se efectúa este método en este caso. Para colocar el valor de un número irracional . Se procederá a colocar el número en la forma f(x), al valor de la raíz que quiero hallar le pongo el valor x:[pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
[pic 49]
Por ejemplo, para ; (Las respuestas serán registradas a 9 c.s):[pic 50]
Se procederá a expresar en la forma de f(x):[pic 51]
[pic 52]
Luego se emprenderá a realizar su derivación:
[pic 53]
La fórmula para la función vendría a ser:
[pic
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