Métodos Numéricos en EDP

...

u + (nπ)2u = 1,

multiplicamos por e(nπ)2t y obtenemos

(nπ)2t (nπ)2t (nπ)2 t

ue+ (nπ)2ue= e,

(nπ)2t(nπ)2 t

(eu) = e,

(nπ)2te(nπ)2 t

eu =+ c2,

(nπ)2 1

−(nπ)2t

un(t) =+ c2e.

(nπ)2

De la condición inicial u(x, 0) = f (x) se obtiene que un(0) = an ∀n ∈ N. Así, podemos obtener el valor de las constantes.

Para n = 1 tenemos u(0) = a1 = 1 ⇒ c1 = 1.

Para n = 2 tenemos 1

u(0) = a2 = 0 ⇒ c2 = −

(2π)2 .

Para n ≥ 3 tenemos u(0) = an = 0 ⇒ cn = 0.

Por lo tanto

⎧

−(nπ)2t

esi n = 1,

⎨ 11

−(2π)2t

un(t) =+ esi n = 2,

(2π)2 (2π)2

⎩

0 si n ≥ 3.

Como habíamos definido

∞

f

u(x, t) = un(t) sen(nπx),

n=1

2

la solución exacta queda

−(2π)2t

u(x, t) = e−π2t sen(πx) + 11 − esen(2πx).

(2π)2Ejercicio 2. Programa un método en diferencias finitas que calcule la solución aproximada de la siguiente

(1 + x)2 + 1

y 1

⎩u(0, y) = u(1, y) = 0 ≤ x ≤ 1.

1 + y2 , 4 + y2 , Sabiendo que la solución exacta es

y

u(x, y) = 0 ≤ x, y ≤ 1

(1 + x)2 + y2 ,

calcula, para distintos valores del paso espacial h, el error cometido en norma dos. Haz una gráfica en la que se representenesos errores frente al número de nodos y comprueba empíricamente que el método es de oreden 2.

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