Marco teórico de los sistemas de coordenadas

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X= rcosO, Y= rsenO

Estas fórmulas son válidas para cualquier valor de r.

X, Y, O están relacionados también por:

r2= x2+y2 tan O=y/x

Estas ecuaciones se emplean para convertir las coordenadas rectangulares (x,y) a coordenadas polares (r,O).

14.1 Sistemas de coordenadas rectangulares en 3 dimensiones

En tres dimensiones, o espacio tridimensional, se construye un sistema de coordenadas rectangulares utilizando tres ejes mutuamente perpendiculares. El punto en el cual estos ejes se intersecan se denomina origen O. Estos ejes, se marcan de acuerdo con la llamada regla

de la mano derecha: Si los dedos de la mano derecha, apuntando en la dirección del eje x positivo, se curvan hacia el eje y positivo, el pulgar apuntará entonces en la dirección del nuevo eje

perpendicular al plano de los ejes x y y. Este nuevo eje se denomina eje z. Las líneas punteadas

en la figura 1.2.2a) representan los ejes negativos. Ahora bien, si

x = a , y =b, z= c

son planos perpendiculares a los ejes x, y y z, respectivamente, el punto P en el cual estos planos

se intersecan puede representarse mediante una triada ordenada de números (a, b, c) que

se dice son las coordenadas rectangulares o cartesianas del punto. Los números a, b y c se

denominan, a su vez, las coordenadas x, y y z de P(a, b, c).

- Octantes Cada par de ejes de coordenadas determina un plano de coordenadas. Como se muestra en la figura, los ejes x y y determinan al plano xy, los ejes x y z determinan al plano xz, etcétera. Los planos de coordenadas dividen el espacio tridimensional en ocho partes conocidas como octantes. El octante en el cual las tres coordenadas de un punto son positivas se denomina primer octante. No hay un acuerdo para nombrar a los otros siete octantes.

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- Fórmula de la distancia Para determinar la distancia entre dos puntos P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) en el espacio tridimensional, vamos a considerar sus proyecciones sobre el plano xy.

la distancia sigue de la fórmula usual de la distancia en el plano

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- Fórmula del punto medio Es posible utilizar la fórmula de la distancia para mostrar que las

coordenadas del punto medio del segmento de recta en el espacio tridimensional que conecta

los distintos puntos P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) son:

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- Vectores en el espacio tridimensional Un vector a en el espacio tridimensional es cualquier triada ordenada de números reales donde ay son las componentes del vector. El vector posición de un punto en el espacio tridimensional es el vector , cuyo punto inicial es el origen O y cuyo punto final es P.

Las definiciones de componentes de la adición, sustracción y multiplicación por un escalar, etc., son generalizaciones naturales de las que se dieron para vectores en el espacio bidimensional.

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17.8.1 Coordenadas cilíndricas

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