Sistema de coordenadas en tres dimensiones:

...

de y se dice que es una función de las dos variables independientes: e .

Llamaremos también a e , las variables de entrada de la función y a la variable de salida de la función.

Podemos representar geométricamente una función de dos variables en el espacio de coordenadas cartesianas de tres dimensiones. A cada par ordenado en el dominio de le asignamos el punto P (trío ordenado) . El conjunto de todos estos puntos se llama gráfica de la función , y dichos puntos satisfacen la ecuación . Se puede considerar que la ecuación representa una superficie en el espacio.

Gráfico de la función .

Gráfico de la función .

1.3.​Límite y Continuidad.

Empleamos la notación para indicar que los valores de se aproximan al número cuando el punto se aproxima al punto a lo largo de cualquier trayectoria que permanezca dentro del dominio de . En otras palabras, podemos hacer que los valores de se aproximen a tanto como se desee si tomamos el punto lo suficientemente cerca del punto , pero no igual a

Definición 1:

Una función de dos variables se denomina continua en si .

Diremos que es una función continua en , si es continua en todo punto de

Diremos que una función de dos variables es continua en su dominio (esto es, continua en cada punto de su dominio) si su gráfica es una “superficie ininterrumpida”.

1.4.​Derivadas Parciales.

En las funciones de una sola variable, la derivada representa la tasa instantánea de cambio en la variable dependiente respecto al que se opera en la variable independiente. En la función de dos variables, también es posible definir la derivada. Nos centraremos en las derivadas parciales que representan la tasa instantánea de cambio en la variable dependiente, pero con respecto a los cambios de las dos variables independientes, tomadas por separado.

En una función , puede calcularse una derivada parcial respecto a cada variable independiente.

Definición 1:

Si , la derivada parcial de la función con respecto a la variable , que se denota por es la función dada por , en caso dé que este límite exista.

Definición 2:

Si , la derivada parcial de la función con respecto a la variable , que se denota por es la función dada por , en caso dé que este límite exista.

Al analizar la definición, podemos establecer el siguiente procedimiento para obtener: y .

Procedimiento para encontrar y :

1. Para encontrar , considera a la variable como constante y derive la función con respecto a la variable de la manera usual.

2. Para encontrar , considera a la variable como constante y derive la función con respecto a la variable de la manera usual.

Note que tanto y son cada una de ellas funciones de las dos variables: e .

Ejemplo 1:​Dada la función​.

a. Primera derivada parcial con respecto a es .

b. Primera derivada parcial con respecto a es

Ejemplo 2:​Dada la función​. Obtener y .

a. .

b. .

Ejemplo 3:​Dada la función​.

a. Obtener y

La primera derivada parcial con respecto a es .

La primera derivada parcial con respecto a es

b. Obtener y

Para encontrar y , evaluamos y cuando e , es decir , de forma similar .

Ejemplo 4:​Dada la función​, donde es una constante arbitraria.

a. Primera derivada parcial con respecto a es .

b. Primera derivada parcial con respecto a es .

1.5.​Interpretación Geométrica:

Si , entonces y pueden interpretarse como las pendientes de las rectas tangentes a la superficie en las direcciones de e , respectivamente, esta es su interpretación.

La ecuación representa una superficie , la gráfica de