MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

...

p

---------------------------------------------------------------

= A e−x (1 − x),

---------------------------------------------------------------

" = Ae−x ( x − 2)

Luego: L[yp] = Ae-x [(x - 2) – 3(1 – x) – 4x] = -5Ae-x Por tanto yp será solución si A = -1. Es decir:

yp = −xe-x

Nota: En general: Sea una ecuación diferencial de coeficientes constantes L[y] = a eαx con polinomio característico P(r).

- Si α no es raíz de P( r ) = 0 se probaría una solución particular de la forma: yp = Aeαx.[pic 4][pic 5][pic 6]

eαx

a

P(α)

yp =

Entonces L[Aeαx] = A P(α)eαx = Aeαx ⇒

---------------------------------------------------------------

A = a P(α)

---------------------------------------------------------------

Luego

- Si α es raíz simple de P(r) = 0, se prueba yp = Axeαx, pues:

L[A x eαx ] = A⋅ L⎡ d eαx ⎤ = A d L[eαx ] = A d eαxP(α) = Aeαx[x P(α) + P'(α)] =

⎢⎣d α ⎥⎦

= AP'(α) eαx

---------------------------------------------------------------

d α

⇒ A =

---------------------------------------------------------------

d α

a P'(α)[pic 7]

Pero por ser α raíz simple de P(r) = 0, resulta: P(r) = (r - α) P1(r) con P1(α) ≠ 0. Como: P’(r) = P1(r) + (r - α) P1’(r) , se deduce que P’(α) = P1(α).

Por tanto, en este caso:

---------------------------------------------------------------

A = a P1(α)

---------------------------------------------------------------

De donde:[pic 8][pic 9][pic 10]

xeαx

a

P1(α)

yp =

[pic 11]

---------------------------------------------------------------

Pueden darse unas reglas para escoger el modelo de solución particular a probar, en el caso de ecuaciones lineales con coeficientes constantes y con 2º miembro h(x) de forma polinómica, exponencial, seno, coseno o producto de estos dos tipos.

TABLA. Forma de una solución particular yp(x) de L[y] = h(x), cuando la ecuación tiene coeficientes constantes; siendo su polinomio característico P(r) y pp , qp , Pp , Qp , polinomios de grado p.[pic 12]

a) h( x ) = p p ( x ) = a p x p + ... + ao ⇒ y p ( x ) = xm Pp ( x ) = xm [Ap x p + ... + Ao ].

siendo m la multiplicidad de r = 0 como raíz de P(r) = 0

.

[pic 13]

g)

siendo m la multiplicidad de r =α + βi como raíz de P(r) = 0 y s = max{p,q}

f)

siendo m la multiplicidad de r =α + βi como raíz de P(r) = 0 (Incluye caso a=0 ó b=0).

e)

siendo m la multiplicidad de r = βi como raíz de P(r) = 0 y s = max{p,q}

d)

siendo m la multiplicidad de r = α como raíz de P(r) = 0

c)

siendo m la multiplicidad de r = βi como raíz de P(r) = 0 (Incluye caso a=0 ó b=0).

b)

siendo m la multiplicidad de r = α como raíz de P(r) = 0

h( x ) = pp( x )eαx cos βx + qq( x )eαxsen βx ⇒

⇒ y p( x ) = xm eαx [Ps( x )cos βx + Qs ( x ) sen βx]

h( x ) = aeαx cos βx + beαxsen βx ⇒ y p( x ) = xm eαx [Acos βx + Bsen βx]

h( x ) = pp( x )cos βx + qq( x ) sen βx ⇒ y p( x ) = xm [Ps ( x )cos βx + Qs ( x ) sen βx]

h( x ) = p p ( x )eαx ⇒ y p ( x ) = xm Pp( x )eαx

h( x ) = a cos βx + b sen βx ⇒ y p ( x ) = xm [Acos βx + Bsen βx ]

h( x ) = aeαx ⇒ y p ( x ) = A xm eαx

Además puede considerarse también el caso en que h(x) es suma de los modelos antes citados. Basta usar el principio de superposición.

---------------------------------------------------------------

Los distintos tipos de funciones h(x) que intervienen en la tabla, son casos particulares del último y más general:

p p( x )eαx cos βx + qq ( x )eαxsen βx

donde pp(x) y qq(x) son polinomios de grados p, q respectivamente.

La validez del método se apoya en que los h(x) considerados son tales que al aplicarles L se obtiene una función del mismo tipo.

Ejemplo 5: Hallar la solución general de:

---------------------------------------------------------------

y"+