Números Racionales . Números y Operaciones.

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Los números racionales son todos números que pueden representarse como el cociente de dos números enteros, con el denominador distinto de 0, es decir, aquellos que se pueden escribir como fracción.

El conjunto de los números racionales se representa con la letra Q.

[pic 2] [pic 3] [pic 4]

Fracciones Equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número racional.

Por ejemplo: 1/2 = 2/4= 4/8 porque:

- Representan la misma parte entera

[pic 5]

- Al multiplicarle un mismo número se obtiene el mismo resultado

[pic 6][pic 7]

- El cociente que indica es el mismo

[pic 8][pic 9][pic 10]

[pic 11]

[pic 12][pic 13]

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OPERACIONES:

- ADICION: para sumar fracciones con distinto denominador, se reemplazan las fracciones por fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. Para encontrar un denominador común, se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Ejemplo: (Se multiplico a la primera fracción por 5 al numerador y denominador y a la segunda fracción por 3, y así obtuvimos fracciones con el mismo denominador.)[pic 18]

- SUSTRACCIÓN: para restar fracciones con distinto denominador, se reemplazan las fracciones por fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. Nuevamente se debe buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Ejemplo: (Se multiplico a la primera fracción tanto numerador como denominador por 5 y a la segunda fracción por 3, y obtuvimos fracciones equivalentes de igual denominador.)[pic 19]

- MULTIPLICACION: para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican entre si los numeradores y denominadores. Antes de realizar la operación se puede simplificar cualquier numerador con cualquier denominador.

Ejemplo: [pic 20]

[pic 21]

- DIVISION: para dividir una fracción por otra (distinta de cero), se multiplica la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda.

El inverso multiplicativo de es , porque . Todo número racional (distinto de cero) admite un inverso multiplicativo.[pic 22][pic 23][pic 24]

Ejemplo: [pic 25]

MARCO TEÓRICO PARA EL DOCENTE:

Números Racionales

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo, es decir, una fracción común con numerador a y denominador b distinto de cero. [pic 26]

El conjunto de los números racionales se denota por [pic 27]; este conjunto de números incluye a los números enteros ([pic 28]), y es un subconjunto de los números reales ([pic 29]).

Propiedades de los números racionales

Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son:

Entre las propiedades de la suma y resta están:

Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo necesitara.

ab + cd = ef

Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos:

(ab + cd) – ef = ab + (cd−ef)

Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera:

ab + cd = cd + ab

Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional.

ab + 0 = ab

Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.

ab−ab=0

Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son:

Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.

ab × cd = ef

Esta además aplica con la división

ab ÷ cd = ef

Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.

(ab × cd) × ef = ab × (cd × ef)

Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.

ab × cd = cd × ab

Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:

ab × (cd + ef) = ab × cd + ab × ef

Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.

ab×1=ab