NOTAS DE CLASE DE CALCULO III GRUPO: A3

...

La expresion para f(x; y; z) esta de nida siempre que z y > 0 de modo que el dominio de f es

D = (x; y; z) 2 R3jz > y

Es un semiespacio que consiste en todos los puntos que se ubican por arriba del plano z = y.

n

1.2 LIMITES EN R

1.2.1 L mite

De nicion 1.2.1. Sea una funcion de dos variables cuyo dominio D contiene, entre otros, puntos arbitrariamente cercanos a (a, b). Entonces, el l mite de (x, y) cuando (x, y) tiende (a, b) es L por lo que se escribe:

lim

f(x; y) = L

(x;y)!(a;b)

Si

para todo numero

> 0 hay un numero

correspondiente > 0 tal que si (x; y) 2 D y

p

(x a)2 + (y b)2

p

[pic 9]

La funcion nos dice que (x a)2 + (y b)2 es la distancia entre el punto (x; y) y (a; b)

Si cualquier intervalo peque~no (L ; L + ) se da alderedor de L, entonces se puede encontrar un circulo D con centro en (a,b) y radio > 0 tal que f mapea todos los puntos en D . (mirar gura 1.3) (James Stewart, 2008, p.871)

1.2.2 Teorema sobre los l mites

Si f(x; y) ! L1 cuando (x; y) ! (a; b) a lo largo de una trauectoria C1 y f(x; y) ! L2 cuando (x; y) ! (a; b) en la trayectoria C2 donde L1 = L2 entonces no existe lim(x;y)!(a;b) f(x; y)

1.2.3 Continuidad

De nicion 1.2.2. Se dice que una funcion f de dos variables es continua en (a,b) si

lim f(x; y) = f(a; b)

(x;y)!(a;b)

f es continua en D si f es continua en todos los puntos (a,b) de D

Cont.

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[pic 10][pic 11]

Figure 1.3: Disco D

1.2.4 Funciones de tres o mas variables

La notacion

lim f(x; y; z) = L

(x;y;z)!(a;b;c)

Signi ca que los valores de f(x; y; z) se aproximan al numero L cuando el punto (x,y,z) tiende al punto (a,b,c) a lo largo de cualquier trayectoria en el dominio de f. Como la distancia entre los

p

[pic 12]

puntos (x,y,z) y (a,b,c) en R3 esta de nido por (x a)2 + (y b)2 + (z c)2.

La funcion es continua en (a,b,c) si:

lim f(x; y; z) = f(a; b; c)

(x;y;z)!(a;b;c)

1.2.5 Teorema para expresar el l mite

Si f se de ne en un subconjunto D de R3, entonces lim(x)!(a) f(x) = L signi ca que para todo numero

> 0 hay un numero correspondiente > 0 tal que:

x 2 D y 0

Cont.

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CHAPTER 2

[pic 13]

DERIVADAS PARCIALES

[pic 14]

De nicion 2.0.1. Si f, es una funcion de dos variables x y y, suponga que solo hace variar x mientras mantiene ja a y, y= b, donde b es una contante. Entonces esta considerando en realidad una funcion de una sola variable x, a saber, g(x) = f(x; b). Si d tiene derivada en a, entonces se denomina derivada parcial de f con respecto a a en x en (a,b) y la denota con fx(a; b).(James Stewart, 2008, p.879)

(1). fx(a; b) = g0(a) donde g(x) = f(x; b)

[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

y (1). se transforma en

(2). f

x

(a; b) = lim

h !0

f(a+h;b) f(a;b)

h

[pic 19]

Entonces si f es una funcion de dos variables, sus derivadas parciales son las funciones fx y fy de nidas por

(4). f

x

(x; y) = lim

h !0

f(x+h;y) f(x;y)

:

f

y

(x; y) = lim

h !0

f(x;y+h) f(x;y)

h

h

[pic 20][pic 21]

Regla para determinar las derivadas parciales de z = f(x; y)

- Para determinarfx, conservar a y constante y derivar f(x,y) con respecto x.

- Para determinarfx, conservar a constante y derivar f(x,y) con respecto y.

2.0.1 Interpretaciones de derivadas parciales

Es necesario tener en cuenta que la ecuacion z=f(x,y) es un valor y que la gra ca (x; y; z)j(x; y) 2 Df es una super cie. Si f(a,b) = c, entonces el punto P(a,b,c) esta situado sobre S. Si hace