Notas clase de matemática

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Maximización

En matemática, estadística, ciencias empíricas o economía, optimización matemática es la selección del mejor elemento (con respecto a algún criterio) de un conjunto de elementos disponibles.

El problema de maximización, en términos formales, puede ser presentado de la siguiente forma:

Dada una función f: A R donde A es un conjunto de números reales, se debe buscar un elemento en A, tal que ≥ para todo en A.[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

Pero ¿qué quiere decir esto?

Como ya hemos visto, las funciones son de “cierta forma” equivalentes a poner una combinación de ingredientes (que llamamos ) en un horno (que llamamos función ) y al rato encontrarnos como resultado una torta (que llamamos ). Ahora bien, supongamos que en nuestra alacena contamos no solo con harina, huevo y los demás ingredientes necesarios para hacer una torta, sino también con galletitas, verduras y coca-colas. Si lo que queremos es hacer la torta más rica, el problema de maximización puede ser pensando cómo el problema de encontrar la combinación de ingredientes, que cuando son puestas en el horno, dan como resultado la torta más rica. [pic 50][pic 51][pic 52]

Muchas veces, sin embargo, los problemas de maximización vienen sujetos a una restricción. En nuestro ejemplo de la torta, las restricciones serían los ingredientes que hay en la alacena de nuestra casa. No hay dudas de que se podría siempre hacer una torta más rica si se contaran con todos los ingredientes del mundo, pero como eso no es real, debemos restringirnos a aquello que tenemos disponible.

En economía, los problemas de maximización tienen un gran uso a la hora de maximizar utilidades. El problema de maximización de utilidad hace referencia a lograr el máximo bienestar (maximizando la función de utilidad) sujeto a una restricción presupuestaria (esta sería la restricción).

Otro caso muy utilizado es la maximización de beneficios sujeto a una función de producción. Aquí el problema de maximización es encarado desde el punto de vista de las empresas que buscan lograr los máximos beneficios posibles sujetos a una restricción tecnológica.

Los pasos a seguir en una maximización:

1) Se plantea la función objetivo, es decir, la función a maximizar. En nuestro caso, estos serán funciones de utilidad (en el caso de teoría del consumidor) o funciones de beneficio (en el caso de teoría del productor). Es muy importante tener en claro las variables de control de la función. Estas son, las variables que podemos ajustar y modificar para encontrar el mejor resultado posible (aquellas que llamamos anteriormente , que en nuestro ejemplo de las tortas eran los ingredientes). [pic 53]

2) Se plantean, si existen, la/s restricciones del problema. En nuestro caso serán restricciones de presupuesto o restricciones tecnológicas dependiendo el caso.

3) Se plantea el lagrangiano. Esto es una función denominada lagrangiana que une la función objetivo con la/s restricción/es a través de una variable . En el caso en que sean más de una restricción simplemente se agregan más variables. Ejemplo: … [pic 54][pic 55][pic 56]

4) Luego se sacan las condiciones de primer orden (CPO). Esto consiste en derivar la función lagrangiana con respecto a cada una de las variables de control y . Luego cada una de estas derivadas parciales debe ser igualada a cero. [pic 57]

5) Se despejan las variables, igualando las CPO para hallar el valor de cada variable. De esta manera se encuentra el valor que toma cada variable en el máximo de la función.

Ejemplo:

A continuación se desarrollará una breve demostración de una maximización de utilidad sujeto a una restricción presupuestaria para comprender los pasos descriptos anteriormente.

La función de utilidad del consumidor, en este ejemplo, es la siguiente:

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En este caso, la función de utilidad será nuestra función objetivo, porque es aquella que queremos maximizar. Podemos observar que la función de utilidad depende de 2 variables (que en nuestro problema son bienes consumibles): Estas serán nuestras 2 variables de control para nuestro problema.[pic 59]

En este sentido el problema de maximización requiere encontrar la combinación del bien y del bien tal que la utilidad (bienestar) sea el máximo posible. Ahora bien, si lo único que quisiéramos es obtener el máximo de la función planteada anteriormente, estaríamos en problemas porque, al ser una función creciente, el máximo de la función estaría en , que obviamente no es una cantidad factible de bienes a consumir. Este problema sin embargo, se soluciona imponiendo una restricción de presupuesto que limita las cantidades demandadas de cada bien al ingreso disponible. Formalmente, la restricción de presupuesto en este caso es: [pic 60][pic 61][pic 62][pic 63]

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Donde 10 es el precio del bien , 5 es el precio del bien , y 900 es el ingreso disponible del agente. Esto quiere decir que entre la cantidad que decida consumir del bien y del bien , a precio 10 y 5 respectivamente, no podrá consumir más de 900 pesos.[pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]

Pasando en limpio, entonces, el problema de maximización descripto es:

Sujeto a la restricción: [pic 69][pic 70]

El tercer paso, consiste en plantear la función del lagrangiano. Es así que unificamos la función objetivo y la restricción en una sola función a través de una variable :[pic 71]

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Como se puede observar se ha asumido a equivalente a . Esto se debe a que en microeconomía, asumiremos siempre que el agente consume todo el ingreso que tiene disponible.[pic 73][pic 74]

El siguiente paso es conseguir las condiciones de primer orden del lagrangiano, esto es, calculares las derivadas parciales de la función objetivo con respecto a cada una de las variables de control y e igualarlos a 0: [pic