Portafolio Virtual Semiótica de la Imagen.

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d) Demostración:

2 + 6 + 10 + . . . . . + (4 k – 2 ) = 2 k 2 ( Por hipótesis de inducción ) .

2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2 ) = 2 k 2 + ( 4 ( k + 1 ) – 2 )

2 + 6 + 10 + . . . . . + (4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2 ) = 2k 2 + 4 k + 2

Por lo tanto 2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2) = 2 ( k + 1 ) 2

LA DEMOSTRACION POR INDUCCION:

INDUCCION FUERTE:

Principio de Inducción Fuerte: Una propiedad P es cierta de todos

Los números naturales si: P(1) es cierto, y para todo numero natural n, si P(j) es cierto para todo j ∈ [1, n], entonces P(n + 1) también es cierto.

Ejercicio: Demuestre usando inducción fuerte que todo entero

n > 1 puede ser escrito como un producto de números primos. (Y

Pregúntese luego si esto puede ser demostrado usando inducción usual). Solución: Considere el entero k + 1, y asuma por hipótesis inductiva que todo entero j ∈ [2, k] puede ser escrito como un producto de primos.

Consideramos dos casos:

◮ k + 1 es primo: Trivial.

◮ k + 1 no es primo: Existen dos enteros j,ℓ ∈ [2, k] tal que

k + 1 = jℓ.

Por hipótesis inductiva, j y ℓ pueden ser escritos como

Productos de primos.

Concluimos que k + 1 puede ser escrito como producto de primos.

El teorema del binomio:

Sean a y b números reales y además n y k números enteros, tal que 0 ≤ k ≤ n , entonces:

Donde:

• Ejemplo: Desarrolle ( a + b ) 4 .

Respuesta:

DEMOSTRACION:

Suponemos válido para

1. Si n=0, entonces pasa que:

2. Suponemos válido para n=k, esto es

3. Por demostrar para k=n+1, usando la hipótesis de inducción: multiplicamos por

Distribuimos la suma

En el segundo sumando cambiamos los coeficientes binomiales y los índices de la suma, quedando como resultado:

Finalmente Juntamos la suma y Factor izamos el término

Por último usamos el Teorema de Pascal