RESOLUCIÓN DE PROBLEMA DE VOLUMEN POR MEDIO DE LA INTEGRAL DEFINIDA

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específica, por ejemplo el transporte de combustible, enlatados, los tanques de presión, entre otros (Santillana, s.f.).

Conocer el perímetro, área y volumen de las figuras nos ayuda en cuestiones de diseño, a partir de estos cálculos se desarrollan las imágenes en 3D, en la actualidad es muy utilizado para realizar modelaciones, proyecciones de construcción, simulaciones virtuales, entre otras.

Considerando las aplicaciones de la integral, en específico el cálculo de volúmenes, en el campo de las construcciones, los arquitectos, ingenieros y profesiones afines de estas áreas, usualmente emplean la integral para obtener el área y volumen de solidos irregulares. Para rellenar una determinada superficie con un material costoso, si no se quiere comprar ese material en exceso lo mejor es calcular por integrales esa superficie y ajustar la compra, para que sea muy precisa y se ahorre dinero (Santillana, s.f.).

Analizando el problema entregado se abarcó su solución mediante una simulación virtual, en el programa …. Para analizar la figura y los posibles cortes rectangulares para hallar el volumen. Después se realizó el planteamiento analítico, buscando hallar el área y las longitudes para encontrar por integrales el volumen.

3. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA.

El problema es: Un tanque de almacenamiento de agua tiene la forma de un cilindro de 10 pies de diámetro. Está montado de manera que las secciones transversales circulares quedan verticales. Si la profundidad del agua es de 7 pies, ¿qué porcentaje de la capacidad total se está utilizando? Ver fig. 2

Para resolverlo lo primero que se necesita es sacar el volumen total por medio de la formula convencional del volumen de cilindros

V = . R2 . H (1)

Y ya para poder sacar el volumen parcial se necesita hallarlo por medio de los diferentes métodos para resolver volúmenes, entre estos los más conocidos son el método de los discos, método de las arandelas y el método de los cascarones cilíndricos. Aunque en este caso primero se hace por medio de la circunferencia y luego se utiliza los métodos de integración.

Para este artículo la sección dos se dedica a explicar la solución del problema, la sección tres aplicaciones de este problema y en la sección cuatro se llegan a las conclusiones o resultados.

Fig.2 Dibujo del tanque horizontal

Los datos que se dan en el problema son:

• D = 10 ft

• H = 7 ft

• L = Altura

Para el volumen total se usa la fórmula del volumen del cilindro (1)

V = . R2 . L (1)

V = . (5)2 . L

V = 78.5398L ft3

Para el volumen de llenado parcial, se calculan una serie de rectángulos que se componen el ancho del cilindro (constante = L) y lo profundo (variante y relacionado a su forma circular).

Por lo tanto de esta circunferencia sacamos que :

X2 + Y2 = R2 (2)

X2 + Y2 = 25

X = √ 25 – Y2

De allí se saca que el área para la circunferencia hasta donde llega el agua está dada por:

⌠2

⌡-5 √25 – Y2 dy (3)

Y por medio de esta ecuación llegaremos a resolver el volumen del agua en el tanque al cual le damos el nombre de volumen parcial (Vp)

Vp = 2L⌠2

⌡-5 √ 25 –Y2 dy (4)

Para resolver esta integral la haremos por medio de una sustitución trigonométrica:

Y = 5 senθ

dy = 5 cosθ dθ

θ = sen-1(Y/5) (5)

Fig. 3 triangulo de Pitágoras para sustitución trigonométrica

Haciendo esta sustitución la integral queda:

Vp = 2L⌠2

⌡-5 (√25 – 25 sen2θ).(5 cosθ) dθ

Vp = 2L ⌠2

⌡-5 (5√1 – sen2θ).(5 cosθ) dθ

Vp = 2L⌠2

⌡-5 25 (√cos2θ).(cosθ)dθ

Vp = 50L⌠2

⌡-5 (cos2θ) dθ

Para resolver esta integral se acude al coseno de ángulo medio:

Vp = 50L⌠2

⌡-5 (1 + cos2θ / 2) dθ

Al resolver la integral nos queda:

Vp = 25L [θ + (sen2θ/2)]2-5

Vp = 25L [θ + (( 2senθ + cos θ)/ 2)]2-5

Para llegar a la respuesta necesitamos reemplazar θ, seno y coseno de (5) y del triángulo de Pitágoras:

Vp =25L [sen-1(Y/5) + (Y/5). ((√25 –Y2)/5)]2-5

Y por último se aplica la segunda parte del teorema fundamental del cálculo integral

Vp = 25L [sen-1(2/5) + (2/5).((√25-22)/5] – [sen-1(-5/5) + (-5/5).((√25-(-5)2)/5)]

Vp = 25L [sen-1(2/5) + ((2√21)/25) – sen-1(-1) – ((-1.√0)/ 25)

Vp = 25L [sen -1(2/5) + ((2√21)/25) + π/2]

Vp = (25L) (2.3489)

Vp = 58.7225h ft3

En síntesis:

• El volumen del tanque de agua es de 78.5398L ft3

• El