Resolucion grafica, globalidad, concavidad convexidad.

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Un subconjunto no vacío de es convexo si, dado dos puntos cualesquiera pertenecientes a el segmento cerrado está incluido en .[pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85]

Propiedades de los conjuntos convexos

1) Si son convexos, entonces es convexo.[pic 86][pic 87]

2) Sea una función lineal es decir, y es un número real entonces lo siguiente subconjuntos de son convexos:[pic 88][pic 89][pic 90][pic 91]

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Teorema de Globalidad

En la práctica aparecen con frecuencia programas de optimización en los que el conjunto factible es convexo y la función objetivo es cóncava o convexa en . Estos programas se denominan concretamente convexos, en ellos el óptimo local es también global y además las condiciones de Kuhn-Tucker son también suficientes, viene dado en el siguiente teorema: [pic 95][pic 96]

Teorema de Globalidad.

Sea un problema de maximización:

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Con abierto y .[pic 102][pic 103]

Si el conjunto factible es convexo y la función es cóncava es , entonces: El punto es un máximo global si y solo si es un punto de Kuhn-Tucker del problema.[pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108]

Sea un problema de minimización

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Si el conjunto factible es convexo y la función es convexa es , entonces: El punto es un mínimo global si y solo si es un punto de Kuhn-Tucker del problema. [pic 114][pic 115][pic 116][pic 117][pic 118]

En cualquiera de los casos si es estrictamente cóncavo o estrictamente convexa, entonces, el punto es un máximo o mínimo global estricto respectivamente.[pic 119][pic 120]

Resolución Grafica de problemas de Optimización Restringida

Para resolver gráficamente un problema de optimización, seguiremos los siguientes pasos:

- Se representa en el plano el conjunto factible. Si el conjunto factible es compacto y la función objetivo es continua, el teorema de Weierstrass asegura la existencia de óptimos globales. El Teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo. También se puede enunciar en términos de conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos conexos en intervalos compactos, entendiéndose por intervalo compacto aquel que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen) y acotado.

- Se dibujan las curvas de nivel de la función objetivo.

- Se calcula la dirección de máximo crecimiento de la función a través del gradiente de la función objetivo. Observando el crecimiento de las curvas de nivel y el conjunto factible, es posible determinar gráficamente donde se encuentra los óptimos del problema.

- Si el óptimo es un vértice del conjunto factible, su cálculo se realiza de manera sencilla a partir de las ecuaciones de las restricciones.

Si el óptimo se encuentra en el interior del conjunto factible, el problema es equivalente a un problema de optimización sin restricciones y el óptimo se calcula hallando los puntos que cumplen .[pic 121]

Por ultimo si el óptimo es punto de tangencia entre una curva de nivel de la función y una de las curvas de las restricciones, el problema es equivalente a un problema de optimización con restricciones de igualdad, resuelto con el método de los multiplicadores de Lagrange. El cálculo se realiza teniendo en cuenta que en dicho punto se verifica que o equivalentemente, que .[pic 122][pic 123][pic 124][pic 125]

- Si el programa de optimización es convexo, según el Teorema Local-Global, los óptimos locales han de ser óptimos globales (máximos globales si la función objetiva es cóncava y mínimo global si la función objetivo es convexa) (Estudillo, 2005).

Bibliografía

Chiang, A. C. (2006). METODOS FUNDAMENTALES EN ECONOMIA MATEMATICA. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO.

Estudillo, F. J. (2005). Introduccion