Sistema masa resorte amortiguador

...

[pic 13]

En la ecuación 3 se muestra la suma de las tres fuerzas que actúan en el sistema, cabe mencionar que la suma de estas tres es igual a una fuerza de entrada aplicada en la masa en dirección de su vector W (véase la ilustración 9). Por lo tanto se concluye que:

[pic 14]

Se sabe que la aceleración es igual a la segunda derivada de la posición, y que la velocidad, es la primera derivada de la posición, por lo tanto se concluye la ecuación 5 y 6.

[pic 15]

Si suponemos que el sistema desde un inicio no cuenta con una fuerza exterior que actúa sobre él, es decir que la ecuación diferencial de segundo orden que describe al sistema, esta iguala a cero, por lo tanto es conocida como homogénea o natural, ya que no hay alguna fuerza exterior que actué sobre el sistema. Esta ecuación o el sistema dependen de las raíces [pic 16] del polinomio conocido como ecuación característica.

[pic 17]

Si el discriminante tiene un valor mayor que cero, el sistema tendrá una respuesta sobreamortiguada y la expresión que describe el movimiento de masa en función de tiempo se denota por:

[pic 18]

Ahora que si el discriminante es menor que cero, el sistema tendrá un comportamiento subamortiguado, por lo tanto estará denotado de la siguiente forma:

[pic 19]

En donde C1 y C2 son constantes dadas por condiciones iniciales. Cabe mencionar que el análisis anterior es para cuando es sistema es homogéneo es decir no depende de una fuerza externa.

Solución matemática del problema.

El sistema a simular está conformado por una masa de 8kg, un resorte de 20 N/m y un amortiguador de 2 Ns/m, reemplazando en la ecuación 6 se obtiene:

[pic 20]

Como primer paso debe de analizar el discriminante para poder determinar si el sistema en sobreamortiguado o subamortiguado.

[pic 21]

Dado lo anterior podemos determinar que el sistema es Subamortiguado por lo tanto podemos aplicar la ecuación 13. Para la obtención de β se utiliza las siguientes expresiones.

[pic 22]

Donde:

[pic 23]

Por lo tanto la expresión para la posición de la masa con condiciones iniciales y(0)=2 y v(0)=0, está dada por :

[pic 24]

Simulación del sistema en simulink.

Para la simulación de este sistema, se tomó en cuenta la ecuación 6 para determinar un espacio de estados del sistema, cuando este tiene una fuerza que actúa sobre él.

La ecuación también se puede expresar como:

[pic 25]

Si

[pic 26]

Podemos obtener el siguiente espacio de estados:

[pic 27]

De acuerdo a la ecuación 19 y 20 se determinó el siguiente diagrama de bloque simulado en Simulink, herramienta de MatLab. Véase la ilustración 10.

[pic 28]

Ilustración 10. Diagrama de bloques de un sistema masa-resorte-amortiguador.

La respuesta a este sistema se muestra en la ilustración 11. En donde se logra apreciar que el sistema tiene una respuesta subamortiguada. Cabe mencionar que se le agregó una entrada escalón unitaria, es decir que f(t) fue un escalón unitario para esta simulación ya que no fue posible añadir una entrada indefinida o nula y tampoco una sinusoidal.

[pic 29]

Ilustración 11. Respuesta de un sistema masa-resorte-amortiguador con entrada unitaria.

Simulación del sistema en Matlab.

Para observar la respuesta del sistema cuando en este no afecta ninguna fuerza externa y con condiciones iniciales de y(0)=2 y v(0)=0 se introdujo en MatLab un código con la función de la ecuación 16, y así mismo dentro del código la sentencia para graficar dicha función. El código se muestra a continuación.

t=[0:1/1000:35];

y=(exp(-t/8)).*(2*cos(1.57.*t) + 0.159*sin(1.57.*t));

plot(t,y,'r')

La gráfica resultante se observa en la Ilustración 12.

[pic 30]

Ilustración 12. Respuesta de sistema masa-resorte-amortiguador homogéneo, con valor inicial de Y(0)=0

Como se muestra en ecuación 16 hay constantes iniciales C1 y C2 en donde C1 representa la posición inicial en el tiempo 0 y C2 la velocidad. En el código se logra apreciar el valor de esta constante en donde el sistema está en una posición inicial de 2. También véase que el sistema si tiene una respuesta subamortiguada como lo indica la solución de la ecuación 11.

Si al sistema se le agrega una fuerza externa, tendrá que comportarse de manera distinta. Si la masa fue sometida a esta fuerza externa de forma f(t) = 10sin(4πt) el sistema se verá forzado a seguir ésta fuerza. Por lo tanto la ecuación sinusoidal queda de la siguiente manera.

[pic 31]

Para su simulación se introdujo el siguiente código en MatLab, en donde solo se le agrego dicha fuerza a la ecuación.

t=[0:1/1000:35];

y=(exp(-t/8)).*(0.1cos(1.57.*t) + 0.5*sin(1.57.*t)-(10/8)*sin(4*pi*t));

plot(t,y,'r')

Cabe mencionar que en este caso la posición inicial es 0 como se muestra en el código y una velocidad inicial de 0.5. Obsérvese la respuesta en la ilustración 13.

[pic 32]

Ilustración 13. Simulación de sistema masa-resorte-amortiguador afectado por fuerza externa 10sin(4pit).

Véase en la ilustración