TEMA 3: FUNCIONES TRASCENDENTES ELEMENTALES
Enviado por mondoro • 17 de Enero de 2018 • 1.073 Palabras (5 Páginas) • 381 Visitas
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[pic 79]C / [pic 80]
Se observa que por ser [pic 81] periódica, para [pic 82]C[pic 83], existirán infinitas anti-imágenes.
La aplicación [pic 84] no es una biyección cuando z recorre C.
Todo punto del plano z, puede llevarse a la banda [pic 85] por una traslación de un múltiplo entero de 2πi. Por periodicidad, esta traslación no cambia el valor de la función.
[pic 86]
[pic 87][pic 88]
[pic 89][pic 90]
[pic 91]
[pic 92]
[pic 93][pic 94][pic 95][pic 96][pic 97]
[pic 98]
La imagen en el plano w del segmento x = a , [pic 99], es la circunferencia de centro 0 y radio [pic 100]. Cuando a crece de [pic 101] a [pic 102], el radio del círculo crece desde 0 hasta [pic 103][pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115][pic 116]
La imagen en el plano w de la recta y = b [pic 117] es la semirrecta por el origen con ángulo [pic 118]. Cuando x crece de [pic 119] a [pic 120] la semirrecta es recorrida una vez de [pic 121] a [pic 122]. Cuando y crece de [pic 123] a [pic 124], la semirrecta gira en torno al origen, describiendo el plano.
La correspondencia es una biyección entre los puntos de la banda [pic 125] y el plano excepto el origen.
2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS O CIRCULARES
2.1 Funciones seno y coseno
a) Definición
Se ha visto que para [pic 126] es: [pic 127], [pic 128]
Por tanto la forma natural de definir el seno y coseno complejos es:
Para [pic 129]C: [pic 130] [pic 131] (3.3)
b) Propiedades
- Para z = x, el valor de estas funciones coincide con el valor de las funciones seno y coseno reales.
- Las funciones sen z y cos z son enteras y sus derivadas son:
[pic 132] [pic 133]
Son enteras por ser combinaciones lineales de funciones enteras: [pic 134] y [pic 135].
Además: [pic 136]
Análogo para [pic 137]
- Las funciones sen z y cos z son periódicas con periodo [pic 138].
Pues [pic 139] es de periodo 2πi, luego [pic 140], [pic 141] lo son de periodo 2π.
iv) cos (-z) = cos z sen (-z) = -sen z
De la definición
v) [pic 142]
De la definición
- [pic 143] (3.4)
Pues [pic 144]
[pic 145]
[pic 146]
Análogo para la diferencia y para el coseno.
- [pic 147] [pic 148]
Pues [pic 149]
Análogo para [pic 150]
- [pic 151] (3.5)
Pues [pic 152]
- [pic 153] (3.6)
Es [pic 154] [pic 155]
Luego:
[pic 156]
[pic 157]
- [pic 158] [pic 159]
Es [pic 160]
Análogo para el coseno
- Las funciones sen z y cos z no son acotadas, pues
[pic 161] [pic 162] (3.7)
En efecto:
De (3,6): [pic 163]
[pic 164]
Análogo para el cos z.
- [pic 165] [pic 166]Z ; [pic 167] [pic 168]Z
Es decir, que los ceros de senz ó cosz son los de senx ó cosx respectivamente.
Pues [pic 169] [pic 170]Z
[pic 171] [pic 172]Z
Análogo para el coseno
2.2 Restantes funciones trigonométricas
a) Definición
Se definen: [pic 173] [pic 174] [pic 175]C[pic 176][pic 177] , [pic 178]Z[pic 179]
[pic 180] [pic 181] [pic 182]C[pic 183][pic 184] , [pic 185]Z[pic 186]
b) Propiedades
- Las funciones anteriores son analíticas en sus respectivos campos de existencia y en ellos es:
[pic 187] [pic 188]
[pic
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