TIPOS Y ESTUDIO DE LOS PRINCIPALES MOVIMIENTOS (CINEMÁTICA)

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Ecuaciones escalares del movimiento.

Como el movimiento es rectilíneo, lo más sencillo es situarlo en el eje de las “x” con lo que:

v = vx · i = k · i r = x · i = (x0 + vx · t) · i

Eliminando i de ambas miembros de las ecuaciones nos queda:

vx = k ; x = x0 + vx· t

que se les denomina ecuaciones escalares.

Ecuaciones escalares del MRU en tres dimensiones.

Si no está situado en el eje “x”

v = vx · i + vy · j + vz · k en donde vx, vy, vz son tres constantes.

Entonces r = x i + y j + z k = (x0 + vx · t) i + (y0 + vy · t) j + (z0 + vz · t) k

Y las ecuaciones escalares quedarían:

vx = k1 ; x = x0 + vx· t

vy = k2 ; y = y0 + vy· t

vz = k3 ; z = z0 + vz· t

Ejercicio:

Escribir las ecuaciones escalares del movimiento anterior cuya ecuación de velocidad era: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s, y su posición inicial venía determinada por r0 = (2 i + k) m.

Ecuaciones escalares

de velocidad: vx = 3 m/s ; vy = 4 m/s ; Vz = –6 m/s ;

de posición: x = (2 + 3 t) m ; y = 4 t m ; z = (1 – 6 t) m.

Representación gráfica x/t.

Al representar “x” frente a “t” se obtiene una recta cuya pendiente es “v” (v = tg α) y la ordenada en el origen es x0.

Representación gráfica v/t

Al representar “v” frente a “t” se obtiene una recta horizontal ya “v” es constante y no varía con “t”.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)[pic 1]

Se cumple que: a = k · ut , es decir: at = k = a ; an = 0

Como la dirección no varía ut puede coincidir con cualquier vector unitario i, j o k.

Ecuaciones del movimiento MRUA.

a = dv/dt = ax · i significa que la v varía con el tiempo siempre al mismo ritmo.

dv = a dt.

Integrando: v = ∫ dv = ∫ a · dt = a · t + v0 (v0 = constante)

Para obtener la posición se vuelve a integrar:

r = ∫ dr = ∫ v · dt = ∫ (a · t + v0) · dt =

r = ½ a · t2 + v0 · t + r0 (r0 = constante)

Si el movimiento transcurre a lo largo del eje “x” la ecuación vectorial se expresará como:

r = x i = (½ ax · t2 + v0x· t + x0) i

Si el movimiento transcurre a lo largo del eje “x” la ecuación vectorial se expresará como:

r = y j = (½ ay · t2 + v0y· t + y0) j

Ejemplo:

Sea el movimiento definido por las siguientes constantes a = (5 i) m/s2 y v0 = 3 i m/s r0 = 4 i m. Determina las ecuaciones vectoriales de la velocidad y de la posición.

v = ∫ a · dt = ∫ (5 i) m/s2 dt; v = (5 m/s2 · t + 3 m/s) i

r = ∫ v · dt = ∫ (5 m/s2 · t + 3 m/s) i · dt

r = (5/2 m/s2 · t2 + 3 m/s · t + 4 m) i

Ejercicio:

Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: v = (4· t +2 ) j m/s. Determinar la ecuación vectorial de la aceleración y de la posición. Suponiendo que para t = 0 su posición es r0 = 3 j m, ¿cuál será su posición en el instante t = 2 s?

a = dv/dt = 4 j m/s2

r = ∫ dr = ∫ v · dt = €(4· t + 2 ) j dt = (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m

r = (2 t2 + 2 t + 3) j m

r (t = 2 s) = [2 (2)2 + 2 ·2 + 3] j m = (8 + 4 + 3) j m = 15 j m

Ecuaciones escalares del movimiento.

Como el movimiento es rectilíneo, lo situaremos en uno de los ejes, por ejemplo el “x” con lo que:

v = vx · i = a t + v0 = (ax · t + v0x) I

r = x · i = (x0 + v0x · t + ½ · ax · t2 ) i

Eliminando el vector unitario i quedan las ecuaciones escalares:

vx = ax· t + v0x ; x = x0 + v0x· t + ½ ax · t2

Si el movimiento sucede en el eje “y” vertical (caída libre) y tomando g = 9’8 m/s2, ay = –g (sentido hacia abajo) y las ecuaciones serán:

vy = v0y – g · t ; y = y0 + v0y· t – ½ g · t2

Ecuación vx = f(x).

Despejando “t en la ecuación: vx = ax · t + v0x :

vx –vox

t = ———

ax

y sustituyendo en x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2

vx –vox 1 (vx –vox)2

x = x0 + v0x · ——— + — ax · ————

ax 2 ax2

2 ax( x – x0) = 2 vx·vox – 2 vox2 + vx2 + vox2 – 2 vx·vox

Despejando vx:

vx2 = vox2 + 2 ax( x – x0)

Ejercicio:

Sea el movimiento anterior cuya ecuaciones del movimiento eran: a = 4 j m/s2; v = (4· t +2) j m/s; r = (2 t2 + 2 t + 3) j m . Determinar sus ecuaciones escalares.