TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN EL MINISTERIO

...

[pic 133]

Cambiando en ③ por :[pic 134][pic 135]

[pic 136]

[pic 137]

Deducción de las ecuaciones de los planos principales de esfuerzo y de los esfuerzos principales: Los planos en los que actúan los esfuerzos principales ( se denominan planos principales de esfuerzo plano y están definidos por los ángulos que se diferencian en [pic 138][pic 139][pic 140]

Para determinar el plano correspondiente a un esfuerzo normal máximo mínimo, la ecuación ③ se deriva con respecto a y la derivada se iguala a cero:[pic 141]

[pic 142]

Por consiguiente, [pic 143]

[pic 144]

Se obtienen dos ángulos que difieren en 180º y por ende dos angulos que difieren en 90º.[pic 145][pic 146]

[pic 147][pic 148]

[pic 152][pic 153][pic 154][pic 155][pic 149][pic 150][pic 151]

[pic 159][pic 160][pic 161][pic 162][pic 163][pic 156][pic 157][pic 158]

x[pic 166][pic 167][pic 168][pic 169][pic 170][pic 164][pic 165]

[pic 174][pic 171][pic 172][pic 173]

[pic 175]

La magnitud de los esfuerzos principales se obtiene sustituyendo los valores angulares en la ecuación ③ y ④ ó en la siguiente fórmula:

[pic 176]

Deducción de las ecuaciones de los planos de esfuerzo cortante máximo y del esfuerzo cortante máximo:

Si para un elemento conocemos , el esfuerzo cortante en un plano está definido por un ángulo determinado por la ecuación de , para situar los planos en donde actúan los esfuerzos cortantes máximos y mínimos esta debe derivarse con respecto a y hacer igual a cero la derivada.[pic 177][pic 178][pic 179][pic 180]

[pic 181]

Las operaciones dan como resultado:

[pic 182]

Los dos planos definidos por esta ecuación son perpendiculares entre sí, quedando entre los esfuerzos principales a 45º.

Sustituyendo las funciones seno y coseno correspondientes al ángulo doble da los valores máximos y mínimos de los esfuerzos cortantes.

[pic 183]

[pic 184]

Al simplificar obtenemos:

[pic 185]

Si son los esfuerzos principales y es cero la ecuación anterior se simplifica en: [pic 186][pic 187]

[pic 188]

Ejercicios:

7.5) Para el estado de esfuerzo mostrado, determine: a) los planos principales, b) los principales esfuerzos.

[pic 189]

Solución:

- Planos principales: según la convención de signos el comportamiento es el siguiente:

[pic 190][pic 191]

Sustituyendo en la siguiente ecuación se establece la magnitud de los planos principales:

[pic 192]

[pic 193]

ta = [pic 194][pic 195]

y [pic 196][pic 197]

y = 104,04[pic 198][pic 199][pic 200]

- El signo positivo indica que el elemento gira en sentido contrario a las agujas del reloj.

[pic 201]

[pic 202]

[pic 203]

- Esfuerzos principales: sustituimos los valores en la siguiente ecuación, tomando el esfuerzo máximo positivo y el esfuerzo mínimo negativo

[pic 204]

[pic 205]

[pic 206]

[pic 207][pic 208][pic 209][pic 210][pic 211]

[pic 212]

[pic 214][pic 213]

[pic 215][pic 216]

- Los planos principales y los esfuerzos principales se muestran en la figura. Haciendo en la ecuación se verifica que el esfuerzo normal del elemento es el esfuerzo máximo.[pic 217][pic 218]

Esfuerzo cortante máximo:

[pic 219]

[pic 220]

[pic 221]

Diagrama de esfuerzos:

[pic 223][pic 222]

a[pic 224][pic 225][pic 226][pic 227][pic 228][pic 229]

[pic 232][pic 233][pic 234][pic 235][pic 236][pic 237][pic 238][pic 239][pic 240][pic 230][pic 231]

[pic 242][pic 243][pic 241]

[pic 244][pic 245][pic 246][pic 247]

[pic 249][pic 250][pic 251][pic 248]

[pic 252][pic 253][pic 254]

e

7.13) Para el estado de esfuerzo dado, determine los esfuerzos normales y cortantes después de girar el elemento mostrado a) en el sentido de las manecillas del reloj b) en sentido contrario a las manecillas del reloj.[pic 255][pic 256]

[pic 257]

Solución:

- Comportamiento de los esfuerzos según la convención de signos:

[pic 258]

- Hacer uso de las ecuaciones de transformación de esfuerzo plano y sustituir