Teorema de Pitagoras.
Enviado por Eric • 21 de Diciembre de 2017 • 2.969 Palabras (12 Páginas) • 559 Visitas
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La demostración de las expresiones anteriores corresponde al desarrollo de la siguiente igualdad:
[pic 17]
El teorema de Pitágoras en el espacio
El teorema de pitágoras se puede aplicar también en un espacio tridimensional.[pic 18]
[pic 19]
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Demostración
Para hallar la longitud de la diagonal D hallamos primero la longitud de la diagonal d:
[pic 20]
Ahora tenemos un triángulo rectángulo de catetos b y d, e hipotenusa D. Ahora utilizamos el teorema de pitágoras de nuevo para hallar la longitud de la hipotenusa.
[pic 21]
El exponente 2 elimina Demostración
Para hallar la longitud de la diagonal D hallamos primero la longitud de la diagonal d:
[pic 22]
Ahora tenemos un triángulo rectángulo de catetos b y d, e hipotenusa D. Ahora utilizamos el teorema de pitágoras de nuevo para hallar la longitud de la hipotenusa.
[pic 23]
El exponente 2 elimina la raiz cuadrada, quedando:
[pic 24]
la raiz cuadrada, quedando:
[pic 25]
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
El teorema de Pitágoras
En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:
- Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.
- En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
[pic 26]
Teorema de Pitágoras.-En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
[pic 27]
Demostración:
Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha. El área de este cuadrado será (b+c)2. [pic 28]
Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2): [pic 29]más el área del cuadrado amarillo[pic 30]. Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo: [pic 31]
[pic 32]
Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:
[pic 33]
si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:
[pic 34]
que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:
[pic 35]
http://centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/Pitagoras/Teorema.htm
El Teorema de Pitágoras
Pitágoras de Samos fue un filósofo griego que vivió alrededor del año 530 a.C., residiendo la mayor parte de su vida en la colonia griega de Crotona, en el sur de Italia. De acuerdo con la tradición fue el primero en probar la afirmación (teorema) que hoy lleva su nombre:
Si un triángulo tiene lados de longitud (a,b,c), con los lados (a,b) formando un ángulo de 90 grados ("ángulo recto"), tenemos que
a2 + b2 = c2
Un ángulo recto se puede definir como el ángulo formado cuando dos líneas rectas se cruzan de tal forma que los cuatro ángulos que forman son iguales. El teorema también se puede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a,b,c) de un triángulo satisfacen la relación anterior, el ángulo entre los lados a y b debe ser de 90 grados.
Por ejemplo, un triángulo con los lados a = 3, b = 4, c = 5 (pulgadas, pies, metros,... lo que sea) es rectángulo porque
a2 + b2 = 32 + 42
= 9 + 16 = 25 = c2
Los maestros de obras del antiguo Egipto pudieron conocer el triángulo (3,4,5) y usarlo (mediante cañas o cuerdas calibradas) para construir ángulos rectos; aún hoy en día los albañiles usan tableros con clavos con esas longitudes que les ayudan a alinear una esquina.
Existen muchas pruebas, y las más fáciles son probablemente las que están basadas en el álgebra, usando las igualdades elementales presentadas en la sección precedente, a saber [pic 36]
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(recuerde que 2ab significa 2 veces a veces b). Por ejemplo
152 = (10 + 5)2
= 102 + (2)(10)(5) + 52
= 100 + 100 + 25 = 225
y
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2
Por ejemplo:
52 = (10 - 5)2
= 102 - (2)(10)(5) + 52
= 100 - 100 + 25 = 25
También es necesario conocer algunas áreas simples: el área de un rectángulo es (longitud) por (altura), de tal forma que el área del presentado arriba es ab. Una diagonal lo divide en dos triángulos rectángulos siendo los lados cortos a y b, y el área de ese triángulo es, por consiguiente, (1/2) ab.
Vea el cuadrado de la izquierda construido por cuatro
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