Aplicaciones de la Diferenciación Taylor`s teorema (teorema 96 ) se aplica por lo general en lo siguiente
Enviado por klimbo3445 • 9 de Noviembre de 2017 • 1.093 Palabras (5 Páginas) • 439 Visitas
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DEFINICION 99
(Convexidad / concavidad de una función diferenciable)
Sea f ; ( a, b) R diferenciable , donde a, b E R son tales que a
(Formula)
Para todos Xº x E (a, b ) tal que Xº = x.
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El siguiente teorema demuestra la convexidad / concavidad de una función bajo supuestos menos restrictivos que en nuestro análisis anterior de motivación
TEOREMA 100
Sea f : ( a, b) R sea dos veces diferenciable en (a, b ) E R son tales que a
Y tal que f`` (x ) > 0 ( f`` (x )
En ese caso:
(Formula)
para todos Xº , x E (a, b ) tal que Xº = x, i . , " f es convexa " (" f es cóncava ")
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Prueba
En primer lugar, consideramos el caso de que f`` (x ) > 0 para todo x E (a, )
Para esto, y mucho Xº E (a, b) y Xe ( a, b) ser tal que x> Xº
De acuerdo con el teorema 75 , hay c E ( Xº , x ) tal que
(Formula)
Del teorema 79, se deduce que f es estrictamente creciente en ( Xº , x)
Y por lo tanto que:
(Formula)
Y eso
(Formula)
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Prueba (cont.)
Análogamente para x E (a, b ) tal que x
(Formula)
Y tal que f`strictly creciente en (x, Xº )
Y por lo tanto que
(Formula)
Lo que implica (3.16)
Página 443
Prueba (cont.)
En el caso restante que f`` (x)
Aplicación de la anterior a f da
(Formula)
Y por lo tanto:
(Formula)
Para todos Xº E (a, b) y x E (a, b ) / ( Xº )
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Figura 42 : Gráficos de exp junto con linealizaciones alrededor de x = 1,2 y 3
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EJEMPLO 101
La función exp exponencial es convexa debido exp`` (x ) = exp ( x ) > 0 para todo x E R. Ver fig . 43
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Figura 43: grafica de f del ejemplo 102, y paralelos al eje a través de sus puntos de inflexión.
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EJEMPLO 102
Encontrar los intervalos de convexidad y concavidad de f: R - R definida por
(Formula)
Para todo x E R. Ver fig . 43
SOLUCION:
F es dos veces continuamente diferenciable
(Formula)
(Formula)
(Formula)
Para todo x E R
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EJEMPLO (cont.)
Por lo tanto f es convexa en los intervalos
(Formula)
Y cóncava en el intervalo
(Formula)
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El siguiente teorema da otra caracterización útil de una función definida en el intervalo I de R para ser convexa .
Tal función es convexo si y sólo si para cada x, y de la IE que x
Teorema 103
Sea f: (a, b) R sea derivable en (a, b)
Donde a, b E R son tales que a
Entonces f es convexa si y sólo sí.
(Formula)
Para todo x, y, z E (a, b ) tal que x
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Figura 44 : Gráfica de una función convexa ( oscuro) y secante . ver teorema 103
Página 351
Prueba
Si f es convexa, se concluye de la siguiente manera.
Para el primer paso, dejar que x, y E (a, b) tal que x
Como consecuencia de la convexidad de f, se deduce que.
(Formula)
Y por lo tanto que:
(Formula)
Esto es cierto para todos x, y E (a, b ) tal que x
Tenga en cuenta que esto implica que f` es estrictamente creciente.
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