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Aplicaciones de la Diferenciación Taylor`s teorema (teorema 96 ) se aplica por lo general en lo siguiente

Enviado por   •  9 de Noviembre de 2017  •  1.093 Palabras (5 Páginas)  •  517 Visitas

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...

DEFINICION 99

(Convexidad / concavidad de una función diferenciable)

Sea f ; ( a, b) R diferenciable , donde a, b E R son tales que a

(Formula)

Para todos Xº x E (a, b ) tal que Xº = x.

Página 340

El siguiente teorema demuestra la convexidad / concavidad de una función bajo supuestos menos restrictivos que en nuestro análisis anterior de motivación

TEOREMA 100

Sea f : ( a, b) R sea dos veces diferenciable en (a, b ) E R son tales que a

Y tal que f`` (x ) > 0 ( f`` (x )

En ese caso:

(Formula)

para todos Xº , x E (a, b ) tal que Xº = x, i . , " f es convexa " (" f es cóncava ")

Página 341

Prueba

En primer lugar, consideramos el caso de que f`` (x ) > 0 para todo x E (a, )

Para esto, y mucho Xº E (a, b) y Xe ( a, b) ser tal que x> Xº

De acuerdo con el teorema 75 , hay c E ( Xº , x ) tal que

(Formula)

Del teorema 79, se deduce que f es estrictamente creciente en ( Xº , x)

Y por lo tanto que:

(Formula)

Y eso

(Formula)

Página 342

Prueba (cont.)

Análogamente para x E (a, b ) tal que x

(Formula)

Y tal que f`strictly creciente en (x, Xº )

Y por lo tanto que

(Formula)

Lo que implica (3.16)

Página 443

Prueba (cont.)

En el caso restante que f`` (x)

Aplicación de la anterior a f da

(Formula)

Y por lo tanto:

(Formula)

Para todos Xº E (a, b) y x E (a, b ) / ( Xº )

Página 344

Figura 42 : Gráficos de exp junto con linealizaciones alrededor de x = 1,2 y 3

Página 345

EJEMPLO 101

La función exp exponencial es convexa debido exp`` (x ) = exp ( x ) > 0 para todo x E R. Ver fig . 43

Página 346

Figura 43: grafica de f del ejemplo 102, y paralelos al eje a través de sus puntos de inflexión.

Página 347

EJEMPLO 102

Encontrar los intervalos de convexidad y concavidad de f: R - R definida por

(Formula)

Para todo x E R. Ver fig . 43

SOLUCION:

F es dos veces continuamente diferenciable

(Formula)

(Formula)

(Formula)

Para todo x E R

Página 348

EJEMPLO (cont.)

Por lo tanto f es convexa en los intervalos

(Formula)

Y cóncava en el intervalo

(Formula)

Página 349

El siguiente teorema da otra caracterización útil de una función definida en el intervalo I de R para ser convexa .

Tal función es convexo si y sólo si para cada x, y de la IE que x

Teorema 103

Sea ​​f: (a, b) R sea derivable en (a, b)

Donde a, b E R son tales que a

Entonces f es convexa si y sólo sí.

(Formula)

Para todo x, y, z E (a, b ​​) tal que x

Página 350

Figura 44 : Gráfica de una función convexa ( oscuro) y secante . ver teorema 103

Página 351

Prueba

Si f es convexa, se concluye de la siguiente manera.

Para el primer paso, dejar que x, y E (a, b) tal que x

Como consecuencia de la convexidad de f, se deduce que.

(Formula)

Y por lo tanto que:

(Formula)

Esto es cierto para todos x, y E (a, b ​​) tal que x

Tenga en cuenta que esto implica que f` es estrictamente creciente.

...

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