Teoría de las situaciones: Brousseau

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Se trata de un sistema cuyas reglas lejos de ser naturales son producto de la elaboración de un conjunto de convenciones que demandaron siglos para que los seres humanos los construyeran. El aprendizaje del mismo, al ser complejo, no se da espontáneamente sino progresivamente.

Los niños construyen tempranamente ideas sobre el sistema de numeración a partir de sus interacciones con el medio. El gran desafío para la enseñanza es lograr vincular tales conceptualizaciones de los niños con los saberes considerados válidos. Para ello los docentes deben realizar una reconstrucción del objeto complejo que lo haga apropiable al nivel del conocimiento de los alumnos y, a su vez, respetar sus conocimientos previos y reconocer su carácter provisorio.

¿En qué sentido afirmamos que nuestro sistema de numeración es complejo? Su complejidad está dada por sus características: regular, hermética y posicional

- Está compuesto por signos (cantidad finita) que combinados entre sí, pueden representar cualquier número

- Está organizado en base 10 (sistema decimal), es decir, que cada unidad de un orden equivale a 10 unidades del orden anterior.

- Es posicional: una misma cifra adquiere valores diferentes según la posición que ocupe (que el sistema de numeración sea posicional procura una gran economía tanto para anotar como para leer y operar con los números, pero a su vez es mucho menos transparente, es hermética- esconde toda la información acerca de su organización)

- Se escribe en un orden decreciente de izquierda a derecha

- Incluye el cero

- Entre dos números de la misma cantidad de cifras, es mayor el que tiene a la izquierda el mayor

- Entre dos números de diferente cantidad de cifras es mayor el que tiene más cifras

La numeración hablada tiene otras características. Al enunciar un número se explicita su descomposición aditiva y/o multiplicativa. Es decir que, la enunciación de un numero supone siempre una operación aritmética, sea esta una suma, una multiplicación, o una combinación de ambas (mixta). Esto es así porque la numeración hablada no es posicional. Si lo fuera, el numero 1842 de diría “uno, ocho, cuatro, dos”, sin embargo se dice mil ochocientos cuarenta y dos. (1x1000 + 8x100 + 4x10 + 2)

A estas complejidades hay que sumarle que la conjunción “y” que representa lingüísticamente la adición sólo aparece en la reunión de algunas decenas y unidades, y no se presenta en la reunión de centenas y unidades. Decimos “cuarenta y ocho” pero también decimos once, doce, catorce; y además no decimos trescientos y cuatro, sino trescientos-cuatro.

Cuando decimos 12, 13. Lo que suena primero es el dos y el tres, razón por la cual muchos chicos escriben esos números como 21, y 31.

La enseñanza de la numeración del primer grado, trabaja con dos supuestos muy arraigados. El primero de ellos consiste en el uso de un intervalo numérico que no supere el veinte, que es el que presenta mayor dificultad, obstaculizándose a su vez la posibilidad de comparar entre diferentes intervalos de la serie para poner a pruebas las hipótesis y para buscar regularidades en el sistema. Y el segundo está referido a centrar la enseñanza en el uso del material concreto o estructurado, que en realidad, presentan diferencias importantes con nuestro sistema de numeración:

- Las representaciones tienen sólo algunos signos en base decimal, cada uno representa un orden de agrupamiento. Por lo que siempre se trata de una cantidad limitada, no habilita a escribir infinitos números posibles.

- No son posicionales; la ubicación de los símbolos no modifica su valor.

- No son mixtos (multiplicativos y aditivos). Son sólo aditivos. Y por lo tanto, transparentes.

- No incluyen un símbolo para el cero

- Entre dos representaciones con la misma cantidad de símbolos no se verifica que sea mayor la que tiene a la izquierda el símbolo mayor. Al no ser posicional la ubicación no es relevante

- No se verifica que, entre dos representaciones de diferente cantidad de símbolos, sea mayor la que tiene más símbolos (para representar el numero 9 se necesitan nueve fósforos; y para representar el numero 100 se necesita una bolsa.

Concepciones de los chicos acerca del sistema de numeración y de su representación escrita

Los chicos construyen tempranamente ideas particulares para producir, interpretar y comparar representaciones, y también construyen la escritura convencional de los números sin seguir tal cual el orden de la serie numérica.

Estas ideas o hipótesis sobre el sistema de numeración sobre las cuales se basan consisten en:

- Cantidad de cifras y magnitud del número: cuanto mayor es la cantidad de cifras de un número, mayor es el número.

Este criterio se elabora a partir de la interacción con la numeración escrita, al comparar números con distinta cantidad de cifras, independientemente de que los niños no conozcan la denominación oral del número.

El valor absoluto de las cifras a veces puede poner en tela de juicio la hipótesis.

Ej.: 89 es más grande que 112 porque 8 más 9 es 17, y entonces es más.

999 es mayor que 1110 porque 9 es más que uno.

- “El primero es el que manda”: Las cifras tienen un valor según la posición que ocupan en el número. Los niños saben que, si se comparan dos números de igual cantidad de cifras, será mayor aquel cuya primera cifra sea mayor. Saben además que, cuando la primera cifra de las dos cantidades es la misma, hay que apelar a la segunda para decir cual es mayor.

Este argumento está ligado al conocimiento y a la información que brinda la numeración hablada. Ej.: Julián sabe que el primer número corresponde a los veinti, trenti, setenti, y que, por lo tanto, son mayores que dos, tres, siete, etc.

- Algunos números privilegiados: el rol de los nudos:

Los niños manejan primero la escritura de los nudos y después los números que se ubican entre ellos.

- El papel de la numeración hablada: la escritura de los números