Torsion no circular

...

SECCIÓN ELIPTICA: El esfuerzo cortante máximo actúa en los extremos del eje menor y viene dado por la relación:

[pic 6]

El ángulo de torsión,

[pic 7]

donde: [pic 8][pic 9]

TRIANGULO EQUILATERO. El esfuerzo cortante máximo actúa en el centro de los lados (puntos “m” de la figura):

[pic 10]

El ángulo de torsión,

[pic 11]

[pic 12]

HEXAGONO REGULAR.

[pic 13] [pic 14]

donde “d” es el diámetro del círculo inscrito y A el área de la sección.

OCTOGONO REGULAR:

[pic 15] [pic 16]

Donde A y d significan lo indicado para el hexágono.

TRAPECIO: En el caso de un trapecio isósceles pueden obtenerse unos valores aproximados apara el esfuerzo cortante máximo y el ángulo de torsión reemplazando el trapecio por un rectángulo equivalente, obtenido como se indica con línea punteada en la figura 4.13.

Desde el C.G. del trapecio se trazan las perpendiculares BC y CD a los lados laterales y después se trazan las verticales que pasan por B y D. Las ecuaciones dadas para sección rectangular dan

[pic 17]

aproximadamente los valores de [pic 18] y φ correspondientes al trapecio de la figura 4.11

Para cualquier eje macizo, se obtiene valor aproximado del ángulo de torsión reemplazando la sección por otra elíptica “equivalente” de la misma área A y del mismo momento polar de inercia J. Por consiguiente el valor aproximado de φ viene dado por: [pic 19]

PROBLEMA 4.12 La barra empotrada mostrada en la figura es de aluminio 6061-T6 y tiene una sección transversal en forma de triángulo equilátero. Determine el par de torsión T mas grande que puede aplicarse al extremo de la barra si el esfuerzo cortante permisible es [pic 20] y el ángulo de torsión máximo permitido en su extremo es de 0.02 rad. ¿qué par de torsión puede aplicarse a una flecha de sección circular hecha con la misma cantidad de material?

[pic 21]

SOLUCIÓN

El par de reacción en el empotramiento : [pic 22]

El diagrama de momento torsor nos indica que el par de torsión interno en cualquier sección transversal a lo largo del eje de la flecha es constante e igual a T.

[pic 23]

Con las fórmulas (4.16) y (4.17) para [pic 24] y [pic 25] :

[pic 26]

También,

[pic 27]

Por comparación, se ve que el par de torsión a considerar es regido por el ángulo de torsión permisible. ⇒ T = 170 lb-pulg

Sección transversal circular. Si se va ha usar la misma cantidad de aluminio para una flecha de igual longitud con sección transversal circular, el radio de ésta lo obtenemos de:

[pic 28]

Esfuerzo permisible: [pic 29]

De donde T = 2 170 lb-pulg

[pic 30]

De donde T = 233 lb-pulg

Nuevamente, el torque por ángulo de torsión es el considerado.

Nótese que el eje con sección circular puede soportar un torque 37% mayor que el que soporta el eje con sección triangular

TORSION EN TUBOS DE PARED DELGADA

En el caso de tubos de pared delgada sometidos a carga de torsión se obtiene una buena aproximación de la distribución de esfuerzos por análisis directo y simple, aplicando las condiciones de equilibrio.

Consideremos un árbol hueco de sección no circular sometido a un momento torsor (figura 4.12). Separemos un elemento AB de la pared y tracemos su D.C.L.

[pic 31] Figura 4.12

Condiciones de equilibrio del elemento diferencial:

[pic 32]

Las fuerzas son el producto del esfuerzo promedio por el área donde actúan:

[pic 33]

[pic 34]

Como el elemento AB fue escogido arbitrariamente, la ecuación (4.22) expresa que el producto del esfuerzo cortante longitudinal τ y del espesor t de la pared es constante. Designando por q este producto, se tiene:

[pic 35] (constante) (4.23)

No habiendo componente ortogonal del esfuerzo cortante a las caras superior e inferior de este elemento, las mismas que son parte de la superficie libre; tanto interna como externa, los esfuerzos en estas caras son nulos. Se sigue que las componentes del esfuerzo cortante en las otras caras en la dirección indicada por líneas punteadas son también nulas.

[pic 36]

Figura 4.13

Debemos notar la analogía existente entre la distribución de esfuerzos cortantes τ en la sección transversal de un tubo de pared delgada y la distribución de velocidades “v” del agua que fluye a través de un canal cerrado de altura unitaria y ancho variable. Si la velocidad v del agua varía de un punto a otro debido a la variación del ancho “b” del canal, la razón de flujo : Q = v x b permanece constante a través del canal, tal como τ x t en la ecuación (4.23). Por esta razón, al producto q = τ x t lo denominaremos flujo de corte

[pic 37]

Figura 4.14

A continuación deduciremos una relación entre el momento torsor T y el flujo de corte q en la pared del árbol hueco.

Consideremos