Trabajo, energía y conservación de la energía

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Puede establecerse una importante identidad entre el trabajo realizado por la fuerza neta y el cambio de velocidad que produce. Se va a hacer esto para el sencillo caso de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta. Si esta línea recta coincide con el eje x, entonces el trabajo realizado por la fuerza neta Fneta durante un desplazamiento de x1 a x2 es:

W = ∫ Fneta, x [pic 10][pic 11][pic 9]

Por la segunda ley de Newton, la fuerza neta es igual a la masa m por la aceleración a = dv/dt y, por consiguiente, la integral es igual a:

∫ Fneta, x = ∫ma = m ∫ [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

La velocidad v es una función del tiempo; pero en la integral es mejor tomar en cuenta a la velocidad como función de x y reescribir el integrando de la siguiente manera:[pic 22]

= = = [pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

En consecuencia el trabajo se convierte en:

m ∫ = m ∫ = m ∫ = m v2 = m - m [pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

W = m - m [pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

Esto demuestra que el cambio en el cuadrado de la rapidez es proporcional al trabajo realizado por la fuerza.

Aunque aquí se ha obtenido el resultado para el caso sencillo de movimiento en línea recta, puede demostrarse que el mismo resultado es válido para movimiento a lo largo de una curva, en tres dimensiones.

De acuerdo con la ecuación W = m - m , siempre que se realiza un trabajo positivo sobre la partícula, se aumenta la “cantidad m ” de la partícula, y siempre que se realiza trabajo negativo sobre ésta (es decir, cuando se deja que la partícula realice trabajo), se disminuye la “cantidad m ” de la partícula. De modo que la cantidad m es la cantidad de trabajo almacenado en la partícula, o la energía cinética de la partícula. La energía cinética se representa con el símbolo K:[pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]

K = m [pic 63][pic 64]

Con esta notación, la ecuación W = m - m expresa que el cambio de energía cinética es igual al trabajo neto realizado sobre la partícula; es decir:[pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]

K2 – K1 = W[pic 69]

Ó

∆K = W

[pic 70]

TEOREMA DE TRABAJO Y ENERGIA

∆K = W este resultado se llama teorema del trabajo y la energía. Cuando una fuerza realiza trabajo positivo sobre una partícula que inicialmente está en reposo, la energía cinética de la partícula aumenta. La partícula tiene entonces una capacidad de realizar trabajo: si a la partícula en movimiento se le permite luego empujar contra algún obstáculo, entonces éste realiza trabajo negativo en la partícula y simultáneamente ésta realiza trabajo positivo sobre el obstáculo. Cuando la partícula realiza trabajo, su energía cinética disminuye. La cantidad total de trabajo que la partícula puede entregar al obstáculo es igual a su energía cinética. De modo que la energía cinética representa la capacidad de una partícula para realizar trabajo en virtud de su rapidez.

La adquisición de energía cinética mediante el trabajo y la posterior producción de trabajo por esta energía cinética se ilustran claramente en la operación de una rueda hidráulica movida por caída de agua. En un molino de trigo con un viejo diseño colonial español, el agua cae de un depósito en un canal abierto empinado. El movimiento de las partículas de agua es esencialmente el de las partículas que se deslizan hacia abajo por un plano inclinado. Si se ignora la fricción, entonces la única fuerza que realiza trabajo sobre las partículas de agua es la gravedad. Este trabajo es positivo, de modo que la energía cinética del agua aumenta y adquiere un valor máximo en el extremo inferior del canal (donde su rapidez es máxima). La corriente de agua empuja la rueda, la hace girar y cede su energía cinética al realizar trabajo; entonces la rueda hace trabajar las piedras del molino y realiza en ellas un trabajo útil. El trabajo que la gravedad realiza sobre el agua que desciende se convierte finalmente en trabajo útil y la energía cinética juega un papel intermedio en este proceso.[pic 71]

La unidad de la energía cinética es el joule, es la misma que la unidad de trabajo.

[pic 72]

POTENCIA

La rapidez con la que una fuerza realiza trabajo en un cuerpo se llama la potencia que produce la fuerza. Si la fuerza realiza una cantidad de trabajo W en un intervalo de tiempo ∆t, entonces la potencia promedio es la relación de W y ∆t:

P = [pic 74][pic 73]

La potencia instantánea se define mediante un procedimiento análogo al que se uso en la definición de velocidad instantánea. Se considera la cantidad de trabajo pequeña dW realizada en el intervalo de tiempo pequeño dt y se realiza la relación de estas cantidades pequeñas:

P = [pic 75]

De acuerdo con estas definiciones, el motor de un automóvil produce potencia alta si realiza una cantidad de trabajo grande sobre las ruedas (o, más bien, sobre el eje de transmisión) en un tiempo corto. La potencia máxima que produce el motor determina la rapidez máxima de la que es capaz este automóvil, ya que a rapidez alta el automóvil pierde energía debido a la resistencia del aire en una tasa enorme y esta potencia perdida la tiene que compensar el motor. Usted podría también esperar que la potencia del motor determine la aceleración máxima de la que es capaz el automóvil. Pero la aceleración está determinada por la fuerza máxima que ejerce el motor sobre las ruedas, y esta no se encuentra directamente relacionada con la potencia como se define arriba.

La unidad del SI de potencia es el watt (W), que es la tasa de trabajo de 1 joule por segundo:

1 watt = 1 W = 1 J/s

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