VECTORES EN EL ESPACIO. GRUPO: # 4

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Ortogonales. Restan tres términos, en los cuales aplicando la propiedad de extracción de un:

Escalar del producto escalar de vectores, resulta que:

= (Ux Ux) (i • i) + (Uy Vy) (j • j) + (Uz Vz) (k •k) =

Aplicando la propiedad del producto escalar de un vector por si mismo, tendremos que:

= (Ux Vx) |i|² + (Uy Vy) |j|² + (Uz Vz) |k|² =

Y por ser i, j y k versores resulta que:

= Ux Vx + Uy Vy + Uz Vz

Por lo tanto: u • v = Ux Vx + Uy Vy + Uz Vz

EXPRESIÒN ANALÌTICA DEL PRODUCTO ESCALAR

Si las coordenadas de dos vectores u y v respecto a una base orto normal son u (u1,u2) y v(v1,v2) entonces el producto escalar u.v adopta la siguiente expresión:

u.v = u1.v1+u2.v2

La escena siguiente calcula el producto escalar aplicando la expresión anterior y determina el ángulo que forman dos vectores y el módulo de cada uno de ellos.

Ejercicios

- Activa los controles v1, v2, Producto Escalar y Expresión Analítica. , observa el cálculo del producto escalar a partir de sus coordenadas y compara los resultados obtenidos por ambos procedimientos. Modifica los vectores y comprueba cómo los dos resultados coinciden en todos los casos.

- Activa el control Módulo y analiza cómo se calcula el módulo de un vector a partir de sus coordenadas.

- Activa el control Ángulo y analiza cómo se calcula el ángulo que forman dos vectores.

2. Respecto de una base orto normal tenemos: u(2,-3) y v(3,1). Calcula u.v , |u|, |v| y el ángulo que forman.

MODULO DE UN VECTOR Y ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES

Ángulo entre dos vectores, trazados de un punto, se llama el ángulo más corto al cual hay que girar uno de los vectores alrededor de su inicio hasta la posición de con dirección con el otro vector.

El coseno del ángulo entre vectores equivale al producto escalar de dos vectores dividido en el producto de módulos de estos vectores.

Fórmula de calculación del ángulo entre vectores

Ejemplo:

1. [pic 12] = (3, 4) y [pic 13] = (−8, 6)

[pic 14] · [pic 15] = 3 · (−8) + 4 · 6 = 0

APLICACIONES

En este tema vamos a considerar vectores en el espacio. Un vector une dos puntos del espacio. Por ejemplo si une los dos puntos A y B, entonces tiene su término en el A (1, 1,1) y su punta de flecha en B(2,4,6). En este caso las coordenadas o componentes de son (1, 3,5) - se han restado las coordenadas de B menos las de A-.

El asunto es que un vector tiene cierta dirección, sentido y módulo, pero dos vectores con la misma dirección, sentido y módulo se consideran iguales. Por lo tanto, un vector puede colocarse en cualquier lugar de su línea de aplicación, o incluso puede desplazarse paralelamente a su eje sin que el vector varíe. De cualquier forma, si representamos un vector en un sistema de ejes cartesianos OXYZ, intentaremos dibujarlo siempre con su terminación en el orígen de coordenadas O (0,0,0).

Dado un vector en el espacio euclídeo, así dibujado quedan claras cuáles son sus coordenadas:

[pic 16]

FÍSICA

En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo (o longitud) y una dirección (u orientación).

En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta, en el plano

Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan solo por su módulo que es lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil, sino que se requiere indicar la dirección (hacia donde se dirige), la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende además de su magnitud o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto, pues es necesario definir el punto inicial y final del movimiento.

PRODUCTO VECTORIAL

En matemáticas, el producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.

[pic 17]

EXPRESION ANALITICA

La expresión analítica de una función es una ecuación que relaciona la variable dependiente con la variable independiente.

APLICACIONES

Podemos generalizar la noción de función real de variable real (aplicación del conjunto de los números reales en sí mismo), a funciones definidas sobre conjuntos arbitrarios.

Una aplicación [pic 18] entre dos conjuntos [pic 19] (conjunto origen) y [pic 20] (conjunto final), no vacíos, de elementos cualesquiera, es un criterio por el que a los elementos de [pic 21] se le hace corresponder un único elemento de [pic 22]. Lo representaremos [pic 23]

Se llama dominio de la aplicación al conjunto [pic 24] . La totalidad de las imágenes de los elementos de [pic 25] mediante [pic 26] se representa [pic 27] se le llama conjunto imagen de