Álgebra en todas partes

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Es aquí cuando incluso se comienzan a clasificar los números por sus propiedades: tenemos a los naturales, seguidos de los enteros, después los racionales y a todo esto se le conoce como el conjunto de los números reales.

Pero, cuando se quiso dar solución a una ecuación tan “sencilla” como es x^2+1=0, se dieron cuenta que los conocimientos adquiridos hasta ese entonces, no eran suficiente para resolverlo, ya que no existía ni un solo número que resolviera esta ecuación, fu ahí cuando se crearon los números imaginarios.

Un número imaginario esta compuesto por dos partes, una parte real y una parte imaginaria, expresada matemáticamente quedaría: a+bi.

Una manera de visualizar mas fácilmente a los números complejos, es a través de un plano, donde el eje x, es el eje de los reales y el eje y, es el eje de los complejos, formando así parejas de puntos coordenados dentro del el plano complejo.

En la antigüedad, solían hacerse concurso para conocer al mejor algebrista del mundo, pariendo de sus conocimientos y de las formas de resolver las ecuaciones que en ese entonces eran una incógnita.

En 1494, Luca Pacioli publicó un compendio de toda e algebra conocida hasta sus días y terminó observando que los matemáticos aun no eran capaces de resolver las ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos, fue aquí cuando varios algebristas comenzaron a formular respuestas parciales a esta incógnita.

Nicolo Fontana, también conocido como Tartaglia conocía las soluciones a las ecuaciones de la forma x^3 +ax^2+b=0, cuando fue retado por otro algebrista de nombre Antonio Fior. El reto consistía, en que cada uno de ellos tenía que resolver las ecuaciones algebraicas del otro.

Después de un tiempo, Tartaglia pudo resolver los problemas de Fior, pero Fior no pudo resolver lo problemas de Tartaglia, lo cual puso a Tartaglia como el mas grande calculista de Italia, hasta la llegada de Girolamo Cardano.

Cardano era un médico que se dedicaba a atender a la gente en comunidades campesinas, a jugar cartas y a escribir tratados sobre quiromancia, medicina y aritmética.

En 1539, se acerco a Tartaglia para pedirle que le diera a conocer su solución de las ecuaciones cúbicas; Tartaglia se negó pero tras un prolongado intercambio de cartas, cedió. Tartaglia fue a Milán e hizo jurar a Cardano que nunca revelaría su secreto.

Sin embargo, Cardano lo publicó en su libro Ars Magna, dándole crédito a Tartaglia pero Cardano fue capaz de encontrar la formula para la solución de las ecuaciones cúbicas y sus radicales.

En 1637, Descartes publicó su importante obra filosófica “ El discurso del método” que pretendía dar las bases para una revolución en el pensamiento filosófico y científico. Como apéndice del libro, añadió un capítulo titulado Geometrie.

Los términos aritméticos de Descartes no eran otros que los números que indicaban las coordenadas (x,y) de las gráficas de las ecuaciones. Desgraciadamente su trabajo se considero como “demasiado difícil de leer” y no tuvo una gran acogida entre los matemáticos de la época.

Fue hasta su muerte en Holanda, cuando un matemático de nombre Frans Van Schooten, publicó de nuevo el apéndice de Descartes y en otro capítulo añadió la explicación dada con sus propias palabras de lo que había entendido de la teoría de Descartes.

Fue aquí cuando surgió la unión entre la geometría y el álgebra, ya que se logró la graficación exacta de las ecuaciones del álgebra. El poder de esta unión no ah sido superada por ningún otro concepto matemático en la actualidad. La mejor parte de esta unión funciona como una fuente inagotable de inspiración.

Por una parte, las ecuaciones algebraicas abstractas, pueden ser visualizadas por medio de figuras geométricas; por otro lado, al estudio de las figuras geométricas se le puede aplicar los poderosos métodos del álgebra.

Por ejemplo, los griegos estudiaron gran variedad de curvas que eran siempre definidas por medio de ingeniosos métodos, por ejemplo la elipse es la intersección de un cono con un plano. Todas las curvas, se obtienen por medio de la intersección de un plano y un cono, y corresponden a lugares geométricos (x,y) que satisfacen ecuaciones de la forma ax2+by2= c con a,b,c como números reales.

Pero ¿Qué pasaría si tuviéramos una ecuación de un grado mas alto como y2= x3+x+1? Difícilmente, los métodos griegos darían solución a este tipo de problemas, es por esto que siempre se buscaba innovar en la solución de los problemas algebraicos, sobre todo en las ecuaciones de grados elevados.

Diofanto de Alejandría fue un prominente matemático griego que probablemente vivió un par de siglos antes de nuestra era. Nada se conoce sobre su vida, salvo una rima que apareció en una colección de problemas matemáticos griegos:

“La juventud de Diofanto duró una sexta parte de su vida. Se dejó crecer la barba después de un doceavo más. Al pasar un séptimo más de su vida, se casó y cinco años después tuvo un hijo. El hijo vivió exactamente la mitad que Diofanto, que murió cuatro años después que su hijo. Todos estos años son los que vivó Diofanto.”

Por supuesto, el problema es encontrar el número de años que vivió Diofanto. El problema es muy sencillo. Se puede expresar así: si x es el número de años que vivió Diofanto, entonces:

x= x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4

Finalmente encontramos que la respuesta es 84 años.

Diofanto estudiaba problemas que sus soluciones debían ser números enteros, como el problema anterior. Las ecuaciones que se plantean en estos problemas se conocen como ecuaciones diofantinas y constituyen uno de los temas principales de la rama de las matemáticas conocida como la teoría de números.

Como ya se vio, Pitágoras se preguntaba sobre aquellos triángulos de lado uno que no daban una magnitud entera como solución. El matemático aficionado Pierre Fermat, leía una copia de la Aritmética de Diofanto y se preguntaba para que números n•3 era posible hallar tripletas de números enteros (a,b,c) que satisficieran a la ecuación an +bn=cn.

En el margen del libro escribió: “la ecuación xn+yn=zn no tiene soluciones enteras para n>2. Encontré una demostración maravillosa, pero el margen de este libro es muy pequeño para escribirla.”

La prueba que supuestamente Fermat había encontrado nunca fue publicada y no fue hallada entre los papeles que dejó a su muerte. Lo que