Análisis numérico

Tarea #1

1. Se necesita un recipiente rectangular sin tapa de un litro de capacidad. Para construirlo se usará una lámina rectangular de 40 cm de ancho y 30 cm de alto. El procedimiento será recortar en cada una de las cuatro esquinas un cuadrado idéntico y doblar los bordes de la lámina para formar el recipiente, pero se desconoce la medida que debe tener el lado del cuadrado que se debe recortar.

1. Encuentre la ecuación para obtener la respuesta.
2. Encuentre un intervalo para resolver la ecuación planteada en a) con el método de la Bisección. Justifique su respuesta.
3.  Muestre el resultado obtenido en la cuarta iteración con el método de la Bisección
4.  Sin realizar más iteraciones, determine cuantas tendría que completar con el método de la Bisección si desea tener la seguridad que el error de truncamiento es menor a 10-4

1. La demanda de un producto durante los doce meses de un año está dada por la siguiente función f(x) = 20 x sen(πx/12), 0≤x≤12. Se desea conocer el menor valor de x en el cual la demanda f(x) es igual a 100.

a) Localice aproximadamente la raíz

b) Construya la ecuación x=g(x). Evalúe g’(x) en la vecindad de la raíz y determine si el método converge.

c) Realice algunas iteraciones y confirme la convergencia.

1. Un distribuidor de gasolina llena el depósito al inicio de cada semana. La proporción del contenido que vende semanalmente es una variable x cuyo valor está entre 0 y 1.

Se conoce que la probabilidad que la variable x esté en algún intervalo [a, b] ⊂ [0, 1] se obtiene integrando entre a y b la función f(x) = 20x^3(1+x). Encuentre el intervalo [0, b] tal que la probabilidad sea igual a 0.8

1. Elija un valor inicial que garantice la convergencia del método de Newton
2. Calcule  una raíz real con el método de Newton  con E=0.0001

1. Usted tiene que diseñar un canal triangular abierto para transportar una corriente de deshechos desde una planta química hasta un depósito de estabilización de deshechos (figura 1). La velocidad media aumenta con el radio hidráulico, Rh = A/p, donde A es el área y p es el perímetro de la sección transversal  mojada. Como la razón del flujo máximo corresponde a la velocidad máxima, el diseño óptimo corresponde a un valor theta que maximice Rh, considere d=1 unidad. A) Encuentre un modelo para calcular Rh en función de θ. B) Obtenga la ecuación para encontrar el máximo. y C) aproxime θ con el método de newton con una precisión de 0.0001.

Nota: Si no logra encontrar el modelo en A) utilice la siguiente ecuación  [pic 4][pic 3]

[pic 5]

[pic 6][pic 7]

[pic 8]

[pic 9][pic 10]

1. La matriz insumo-producto propuesto por W. Leontief,  es un modelo muy importante en Economía.  En esta matriz se describe la producción de los diferentes sectores económicos y la demanda interna para satisfacer a estos mismos sectores, expresada como una fracción de su producción. Suponga que en una región hay tres sectores, A: agricultura, M: manufactura, y S: servicios,  y su demanda interna es:

Sea T el nombre de esta matriz. Para los datos propuestos, en la primera columna de la matriz T, el sector A requiere 0.4 de su propia producción, 0.06 del sector M, y 0.12 del sector S, etc.

Sea D el vector de demanda externa para cada sector, y  X  el vector de la producción total de cada sector, requerida para satisfacer las demandas interna y externa: