Modelo para la optimización del área de un rectángulo dentro de la circunferencia de una glorieta

Modelo para la optimización del área de un rectángulo dentro de la circunferencia de una glorieta.

Introducción:

Los accidentes automovilísticos, son un problema que se presenta día con día, causando la muerte de aproximadamente 1.3 millones de personas al año, en todo el mundo. Este problema se presenta debido a diversos motivos, como el exceso de velocidad, la impertinencia del conductor, entre otros. Otro de los principales motivos son las mismas carreteras, desde las que se encuentran mal diseñadas, las que están en mal estado y aquellas que ya no son aptas para su uso debido al aumento de vehículos.

Para poder evitar los accidentes de tránsito lo que se puede hacer, visto desde la ingeniería, es la construcción de nuevas carreteras, la reparación de las que se encuentren dañadas y la modificación de aquellas que fueron mal diseñadas en un inicio, siguiendo una metodología de la investigación en la cual el problema se soluciona de la manera más correcta posible.

Si se requiere llevar a cabo obras de tal magnitud es necesario el uso de las matemáticas y diversas ciencias, de la manera más adecuada y precisa, logrando evitar problemas futuros y solucionando el problema actual, dándole una utilidad exacta a la construcción realizada.

Dentro de las matemáticas se encuentra el uso de la derivada, los límites, las funciones, etc. los cuales son de gran utilidad hoy en día, ya que nos permiten trabajar de la mano con la arquitectura en construcciones modernizadas, estéticas, entre otras, como es el caso del problema que se expone en el presente documento.

A continuación, presentaremos el problema a detalle y como es que resolveremos algunas variables que se presente dentro de él, haciendo el uso adecuado de las matemáticas y logrando una correcta optimización de lo que se busca.

Objetivo:

El objetivo principal de este proyecto es dar solución a un problema matemático, el cual busca maximizar el área de un espacio que se encuentra dentro de la circunferencia de una glorieta que se planea construir en un crucero, abriendo paso a una obra que tiene como fin evitar los accidentes que ocurren en este mismo, además de construir una escultura sobre la glorieta, la cual hará representación a la comunidad de ese pueblo.

Desarrollo:

En la comunidad de Doctor Mora, Guanajuato, se encuentra un crucero en el cual ocurren cerca de 150 accidentes anualmente, este crucero se sitúa en la carretera estatal rumbo a San José Iturbide.

Se realizó un estudio en el cual se determinaron por qué es que ocurrían constantemente accidentes en ese sitio, y se llegó a la conclusión que el problema principal es que el crucero está creado por 2 carreteras estatales, en las cuales la preferencia la tienen las 2.

El presidente municipal decidió realizar una reunión junto con los integrantes de la comunidad para explicarles el problema que estaba ocurriendo y así poder mostrarles las posibles soluciones, dentro de estas se encontraba como posible solución, la construcción de una glorieta en este crucero, ya que, al realizar esta obra, se obligará a los conductores a bajar la velocidad y dirigirse a su destino siguiendo la dirección de la glorieta, decidiendo que esta obra sería la que llevaría a cabo.

Después de determinar que la glorieta sería la obra que se llevaría a cabo, en la especificación de obra se expone que la construcción tendrá 2 objetivos, el primero será evitar los choques que ocurren constantemente en el lugar, y el segundo será el diseño correcto para posicionar una escultura en el centro de esta, teniendo una utilidad de mirador a su vez.

La glorieta que se construirá está diseñada por una circunferencia con un diámetro de 30 metros, dentro esta circunferencia se construirá otra circunferencia con 2m de separación de la primera, esto debido a que entre las dos circunferencias está predestinado diseñar un área verde con arquitectura en la jardinería, finalmente se marcará otra circunferencia dentro de esta con 2m de separación igualmente, solo que esta última tendrá como objetivo ser un mirador.

En el centro de la glorieta es donde se colocará la escultura, esta estará asentada en una base hecha de concreto la cual tendrá forma rectangular y sus 4 vértices tocan la circunferencia que se encuentra en medio de las otras 2.

Durante la  especificación de las medidas de la obra se presentó un problema, ya que la base rectangular sobre la cual se sentará la escultura, no tiene medidas definidas y además se busca que el área de este espacio sea el máximo posible.

A continuación, presentaremos cómo se llevará a cabo la solución de este problema para posteriormente poder concluir con este proceso.

Problema:

Se requiere construir una glorieta sobre un crucero que se encuentra en una carretera de la comunidad de Doctor Mora, Guanajuato, con rumbo a san José Iturbide, esto debido a la gran cantidad de accidentes que ocurren constantemente además de que se utilizara para la construcción de una figura o estatua, como símbolo de reconocimiento del pueblo.

La circunferencia de la glorieta, tendrá un diámetro igual a 30m, además dentro de esa circunferencia se planea construir otra, la cual estará a 2 metros de separación de la circunferencia principal con fines de área verde, finalmente dentro de esta circunferencia se marcará otra más, igualmente a 2m de separación y con objetivos de utilizarse como mirador.

Para poder realizar la construcción de la escultura, se necesita construir una base de concreto de forma rectangular con lados X y Y, el cual tiene que tocar en sus 4 vértices a la circunferencia que se encuentra en el medio de las otras 2 y buscando maximizar el área de este para así poder centrar la estatua y dejar espacio libre para mirador y áreas verdes.

Dados los datos en este problema, busque las demás incógnitas para poder maximizar el área del rectángulo y de una respuesta concreta.

[pic 1]

Datos:

Para poder dar solución al problema presente, es necesario resaltar los datos que se nos ofrecen y observar cuales son aquellos que aún nos faltan

Como se menciona y podemos observar en la imagen anterior, la primer circunferencia, tiene un diámetro igual a 30 m, lo que equivale a un radio de 15m, también sabemos que la segunda circunferencia se encuentra a 2m de separación de la primera, lo que nos da como resultado un radio igual a 13m, posteriormente, tenemos que la tercer circunferencia se encuentra a 2m de separación de la segunda, dándonos como resultado, un radio equivalente a 11 m, finalmente tenemos que los lados del rectángulo, son iguales a X y Y. Además la variable que está en busca es el área máxima del rectángulo.

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