Teorema de Chebyshev

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El Teorema de Chebyshev fue una teoría que se formó por Pafnuti Chebyshev. El ruso, desarrolló un teorema en el que ofrece una garantía mínima acerca de la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor dentro de “k” desviaciones estándar alrededor de la media.

Este teorema sirve para demostrar como la desviación estándar es indicadora de la dispersión de la distribución de una variable aleatoria.  

La desigualdad de Chebyshev nos dice la probabilidad mínima, de que el parámetro poblacional se encuentre dentro de una determinada cantidad de desviaciones típicas por encima o por debajo de su media.

Su expresión formal es la siguiente:

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Donde la probabilidad de que cualquier variable aleatoria tome un valor dentro de k desviaciones estándar de la media es de al menos:

Donde K es cualquier número mayor que 1 (k>1).

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En cuanto a este teorema la garantía no es muy precisa, es decir, sus cálculos no son exactos en algunos casos, cuenta con algunas ventajas como:

• Su gran generalidad por cuanto es aplicable a cualquier variable aleatoria con cualquier distribución de probabilidad, ya sea discreta o continua.
• Permite determinar los límites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas sin tener que especificar sus funciones de probabilidad

En dando caso de no tener valor de K, se puede calcular de la siguiente manera:

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x= Valor estimado poblacional

μ= Esperanza (media)

σ= Desviación estándar

NOTA: LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR PUEDE CAMBIAR SEGÚN EL AUTOR (Z O K)

Ejemplo 1.

Una aerolínea revela que tiene un promedio de 78.7 pasajeros por día, con una desviación estándar de 12.14. ¿Con qué frecuencia los pasajeros están dentro de K = 2 desviaciones estándar de la media y cuál es dicho intervalo?

DATOS:

μ = 78.7 pasajeros

σ = 12.14 pasajeros        

k = 2

Calculando rangos:

Límite Superior: μ + 2 σ = (78.7) + 2(12.14) = 102.98 pasajeros

Límite Inferior: μ - 2 σ = (78.7) – 2(12.14) = 54.42 pasajeros

Aplicando la fórmula del teorema:

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Concluyendo:

Según el Teorema de Chebyshev se estima que al menos el 75% de los días el número de pasajeros oscilará entre 54 y 102 pasajeros.

Fuentes

Martínez, A. C. (2005). UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO. Recuperado el 13 de 10 de 2020, de Facultad de contaduría y administración.