Para cada una de las siguientes funciones determinar

...

19. Hallar la pendiente de la recta que pasa por el punto (3,4) y determina un triángulo en el primer cuadrante de área mínima.

20. Graficar las siguientes funciones hallando, previamente, asíntotas, intersecciones con los ejes, máximos y mínimos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento y concavidad.

a) f(x) = [pic 43] b) f(x) = [pic 44]

c) f(x) = [pic 45] d) f(x) = [pic 46] (atención asíntotas)

e) f(x) = [pic 47] f) f(x) = [pic 48]

g) f(x) =[pic 49] h) f(x) =[pic 50]

21. Determinar el valor de k є R para el cual la función f(x) = [pic 51] tiene un extremo relativo en x = 2. ¿Es máximo o mínimo? ¿Es absoluto?

22. Dibujar, si es posible, una función f: R→R que verifique:

. f es continua en R . f no es derivable en x = 3 . f(2) = 3

. f ‘(x) > 0 si x > 3 . f es decreciente es (-∞,2) . f(-2) = 5

. [pic 52] .[pic 53]

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

PRÁCTICA 5: TEOREMA del VALOR MEDIO y sus aplicaciones

1. Hallar el incremento [pic 54][pic 55]y df

a) [pic 56] para x = 3 y [pic 57].

b) [pic 58] para x = 3 y [pic 59].

2. Sin calcular la derivada, hallar, aproximadamente, [pic 60] para:

a) x = 1 y [pic 61] b) x = 1 y [pic 62]

Comparar los valores aproximados con el correspondiente usando derivadas.

3. Sustituyendo el incremento de la función por su diferencial, calcular aproximadamente

a) [pic 63] b) [pic 64] c) [pic 65] d) [pic 66] e) [pic 67].

( En las funciones trigonométricas se debe trabajar en radianes).

4. Comprobar que la función [pic 68]

cumple las hipótesis del teorema de Rolle. Determinar dónde cumple la tesis.

5. Verificar que la función [pic 69] satisface [pic 70] pero que no existe [pic 71] tal que[pic 72]. ¿Porqué no puede aplicarse el teorema de Rolle?

6. Comprobar si se cumplen las hipótesis del teorema de Lagrange para la función [pic 73] en el intervalo[pic 74] y hallar en que punto se cumple la tesis.

7. Calcular a y b para que la función [pic 75]

cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [pic 76]. ¿Dónde cumple la tesis? Comprobar gráficamente.

8. En caso que se verifique la hipótesis del teorema de Cauchy, determinar dónde se cumple la tesis.

a) [pic 77] y [pic 78] en [pic 79]

b) [pic 80] y [pic 81] en [pic 82]

c) [pic 83] y [pic 84] en [pic 85]

9. Demostrar que cada una de las siguientes ecuaciones tiene una sola raíz real:

- [pic 86] b) e2x = 1 + 2x c) e2x = 1 - 2x

10. Sea [pic 87]. Probar que [pic 88] tiene tres raíces reales.

11. En el arco de una parábola [pic 89] comprendido entre [pic 90] y [pic 91]. Determinar si existe un punto perteneciente al intervalo [pic 92] cuya recta tangente sea paralela a la cuerda AB. Justifique la respuesta usando algunos de los teoremas vistos. Si tal punto existe, hallarlo.

12. Calcular los siguientes límites:

a) [pic 93] b) [pic 94]

c) [pic 95] d) [pic 96]

e) [pic 97] f) [pic 98]

g) [pic 99] h) [pic 100]

13. Calcular los siguientes límites:

a) [pic 101] b) [pic 102]

c) [pic 103] d) [pic 104]

14. Calcular los siguientes límites:

a) [pic 105] b) [pic 106]

c) [pic 107] d) [pic 108]

15. Calcular : a) [pic 109] b) [pic 110]

c) [pic 111] d ) [pic 112]

e) [pic 113] f) [pic 114]

g) [pic 115] h) [pic 116]

16. Explicar por qué los siguientes límites no pueden hallarse mediante la regla de L’Hôpital y calcularlos correctamente

a) [pic 117] b) [pic 118]

17. Sea [pic 119] definida por [pic 120]

Encontrar los valores de a y b para que la función resulte derivable y además [pic 121].

18. Determinar los valores de a y b para que [pic 122]

sea continua pero no derivable en [pic 123].

19. Hallar ecuaciones de asíntotas horizontales de f(x) = (x-1) [pic 124]

20. Analizar si es posible aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [0,6] para

[pic 125]

21. Decidir si es aplicable el teorema del valor medio a f en el intervalo indicado.

En caso afirmativo, calcular los valores de c que verifican la tesis.

i) [pic 126]

ii) [pic 127]

22. Decidir si es aplicable el teorema de Rolle a [pic 128] en el intervalo [pic 129]. En caso afirmativo, calcular los valores de c que verifican la tesis.

23. Probar que, para algún x entre –1 y 1, la recta tangente al gráfico de

[pic 130] tiene