CAPITULO 1 ELEMENTOS DE LOGICA MATEMATICA

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El universo determina generalmente lo que se llama el tipo de la variable. Como en ejemplo “x > 0” el Universo es un conjunto de números, se dice que la variable es de tipo numérico. Si x representa un número de personas, convendría entonces escoger U como el conjunto de números enteros positivos.

Predicador

[pic 9]

En una proposición se pueden tener dos variables, como por ejemplo:

__________es el hijo de _________________

Que se representa por:

P(x,y): x es el hijo de y

A continuación se presentan varios ejemplos de proposiciones abiertas y sus respectivos universos.

Ejemplos 1.1

- p(x) : 4 x = 7 U podría ser el conjunto de números enteros.

- p (y) : Maria se matriculó en UNITEC, en la carrera y.

U = {y/y es una carrera de UNITEC}

- p(x,y) : x es el padre de y

U = {(x, y)/x nombre de varón, y nombre de persona}

Debe acordarse que cuando se llena espacio (la variable) de una proposición abierta con un valor del universo, la proposición abierta se transforma en una proposición. Sea la proposición abierta es p(x) y un valor del universo a, entonces el “llenado” de x por el valor específico a, se representa por p(a). El valor de veracidad de p(a) dependerá de “a”. Para algunos valores de U, p(a) será Verdadera y para otros valores de U, p(a) será Falsa. Lo anterior se ilustra en los siguientes ejemplos:

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Ejemplos 1.2

1. p(x) : x es la moneda de Japón

p (el Yen) : El Yen es la moneda de Japón (Verdadero)

2. p(x) : x es un número mayor que 20

p (12) : 12 es un número mayor que 20 (Falso)

3. p(x,y) : x es un múltiplo de y

p (35,5) : 35 es un múltiplo de 5 (Verdadero)

[pic 10]

Ejemplo 1.3

Si q (z) : z es un país que colinda con Honduras

El U mas amplio que se puede considerar es el conjunto de todos los países. El conjunto solución sería:

C.S. = {Guatemala, El Salvador, Nicaragua}

Ya que si en vez de z, se coloca uno de estos nombres de países, la proposición tiene valor de verdad V. O sea que q (Guatemala) es Verdadera, lo mismo que q (El Salvador) y q (Nicaragua), mientras que q (Costa Rica), q (Chile), etc., son Falsas.

Ejemplo 1.4

Sea U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y

p(x) : x > 5, entonces C.S. = { 6, 7, 8, 9 }

Evaluación de Predicados

[pic 11]

Ejemplos 1.5

a) Evaluar lógicamente la proposición abierta “x + 3 = 5” para 1 (o para x = 1).

Para evaluar la proposición, se coloca 1 en la variable y obteniéndose “1 + 3 = 5” y como no es cierto, se evalúa lógicamente la proposición como FALSA.

b) Evaluar “La capital de Francia es ____________”, para el valor “París”.

Llenando el espacio con el valor se obtiene: “La capital de Francia es París” y se determina que el valor lógico de la proposición es VERDADERO.

c) Evaluar q(x, y): x es un múltiplo de y, para (100,10).

Al sustituir los valores (en el orden indicado) se obtiene “100 es múltiplo de 10” y la proposición que resulta es VERDADERA.

d) Evaluar r(x, y, z): x + 3y > z para x=2, z = 5, y = -1

Al sustituir los valores indicados: 2 + 3(-1) > 5 que al simplificar queda como:

2 - 3 > 5

-1 > 5 lo cual es una proposición FALSA.

EJERCICIOS 1.1

- ¿Cuales de las siguientes frases u oraciones constituyen proposiciones, proposiciones abiertas o ninguna de ellas?

- Los ríos del planeta Marte son rojos. ___________

- ¿Qué día es hoy? ___________

- Los valientes no lloran. ___________

- x es un valor mayor que 100. ___________

- El sueldo no sobrepasa 1000 lempiras. ___________

- Maria es la tía de ____________. ___________

- Estudia cada día para que apruebes el curso. ___________

- Si estudias cada día aprobaras el curso. ___________

- y – x = 23 ___________

- Fuiste al cine o al circo. ___________

- z

2.- .Determine la variable y establezca un universo “apropiado” para cada una de las siguientes proposiciones abiertas.

- n es un número par.

- __________ es un miembro del Congreso Nacional.

- El color favorito de Picasso fue el y.

- “La luna es de queso” es una proposición cuyo valor de verdad es _____.

- El impuesto sobre venta es de x %

- 3 + 2* ( ___ - 5) = 17

- La pared mide z metros.

- x

3. Encuentre el C.S. de las proposiciones del ejercicio anterior.